Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

ψ e(äèâ

.

У координатному h( Qk,α)2ih

P k,α)2i =

4 .

h(dk,αдисперсiя

k

ìîäè

Qk

-зображеннi хвильовий пакет для певно¨

У когерентному

−

Qk2

,α

/4 (ΔQk,α )2

i

ñòàíi

Ÿ11)

äëÿ

осцилятора дисперсiя

велла,торiяхЕкспериментальнонутийвЗ îòîíоглядуятьУзв'язкуа,стма¹проможансерединiвдякиастиснутеункцiяотриму¹моцеазговорити¨хопеорпурску80називаютьстиснуте-свiтло,ацi¨хрокiвдi¹юпроквантуванQлярноюстиснутийоператорасвiтлоXXйогостиснутими) <хвильову.iспостея~терпрет/вакуум2полястискω .iгалианамиання,ацi¹юй.ункцiюМатематичноуведенню.кiлькуведеногорiвВiдповiдно.Отже,яньхпоняттлабораМаксякщостисгоŸ9-.

h(dk,α

i

k

некера,хвильоваяк iмпульсцевиплива¹~kотонаполяризацiюiззагально¨¹добуткомтеорi¨α,вiдповiднихтозобрувл

àсномуженьсимволiв(дивзображеннi.Ÿ12):Кро-

нiвйтОскiльки

ψk,α(k′, α′) = δkk′δα,α′ .

-

îнгочастинки,ма¹полярдвавекторзацiйнихможливiщома¹поляризацi¨спiнстанiвполяризацi¨збiга¹тьсма¹ двi незалежнi. У зв'язкуеброюскладовi,познаспiновихцималтоебрасто

482

~/2. Уведемо скороченi

чення для

0

вектор стану вертикальна

поляризацiя , або

=

| li

1

y-поляризацiя ;

1

поляризацiя , або

вектор стану горизонтальотона=

| ↔i

0

Iншi стани поляризацi¨

x-поляризацiя .

цi¹ю цих базисних векторiв

| i утворю¹мо лiнiйною комбiна-

причому

| i = a| ↔i + b| li,

2

2

вакуумнийзакiнченняоб'¹мустан¹величиноюцьелектромагнiтногопараграбезмежна торкнемосью,поля. Енерцiкавогоiя вакуумупитанíÿà

продиницюНа

|a|

+

|b|

= 1.

E0

1

X X

~kc

~c

1

∞

2

èОпчиннамiкипрояåðàвхтор.âëдитьСлiд,я¹тьсялишоднвнуак,е рiзницязауважтрiшня èòеннеи,ерузгодщоiй,дорiвню¹знаенiстьж якорму¨ квантово¨липада¹для величиiзичнихелект

велродуачому

= V

=

2

2 (2π)3

Z0

k4πk dk =

∞

,

V

α k 2

V →∞

E0

Целюктуоператорченняознарозумiньнуацi¨отонiв)ча¹,лепроблемилишеминапруженосвкi,щоазу¹.величининапруж¨хцевакуi¹Нiтсене-,

Свполiвогоя¹юторка¹мось. чергою

отонiваПорожнечаполямаютьнегнiтнвiдбуваютьснуле.привонеМипевкгоомузнову.ди(вiдсутнiсть

íнеполяюють

÷îãî

31*

483

Ÿ 60. Е ект Казимира

Iншим роявом iснування нульо их

оливань поля ¹ е ект

âèìî ñîái

паралельноавдКазимир,ння зрахувати

лу цього притягання. Спочатку

знайдемо

мiну густи

розмiститиенер i¨ нульо

виник

зимира ( .

1948 .), суть якого поляга¹ ось у чому. Якщо

ó âà óóìi

цi¨ вакууму, мiж

i металевi

ластини, то, внас

ëiäîê

ìè

а¹ притягання. ПостКа

-

дновимiрногоперiонадичностiле.вiддалiвипадкуâ.оихЕнерплосколиваньiя ну-паралельнихелектромагнiтовихоливаньпло

ущин,ноговеликомуПочнiмополяризякiобмежуютьприоб'¹мiвведен

a

X

L → ∞

−∞

E0 =

k

2

=

2π

Z

2

dk =

2π

Z0

k dk.

ß ùî ïîëå

áìåæåíå

â

просторi

ìiæ òî÷êàìè

òî âåêторний пîòåíöiàë

x = 0 òà x = a,

у цих точках дорiвню¹

нулевi. З першо¨ умови при

A = r

πc2

X

ak eikx + ak e−ikx

4

a

k

ié, X

X

x = 0 ìà¹ìî

ak + ak = 0, з урахуванням цього другзнаумова да¹ sin ka = 0, ò áò

kстанiоливань= πn/a, , n = 1, 2, 3 . . . (âiä'¹ìíi

чення n

дають н

ê

n = 0 да¹ A = 0 для вс х x). Тепер еíåð iÿ íóëüîâèõ

~ωk

∞

~c π

iзниця густин енерE = ÿêà ¹ åíåð= i¹þ

ïî

ëяризацi¨n.

вакууму,

k

2

n=1

2 a

E

E0

~cπ

∞

~c

∞

ε =

a −

L =

2a2

X

k dk.

n=1 n − 2π Z0

Ця величина ма¹ íàçâó

åíåð

i¨

Казимира

.

485

X

2a2 n=1 e−

n

−

2π

e−

lim

Елементарнi обчислåííя дають:a

−

−

ε = lim

~

2

e−

πa

ν

2

~

c

2

π

cπ

ν→0

2a

1 e a ν

− 2πν

π

2

~c

ν

π~c

Îòæå, äëÿ =вимiрностilim

простору

1

=

.

ν→0

2πν2

" sh

π

ν

−

#

−

24a2

2a

D = 1 енер iя Казимира

π~c

d якiй локалiзоване

поле,Вiд'¹мнийпритягуютьсязнакуказу¹iз

насилоюте,ε =що−м24a2 .

åæi областi,

При обчисленнi сумF çà= − da

=

24a2 .

d(εa)

π~c

X

Z0

∞

∞

n=1 f (n) =

f (x) dx −

12

+

720

+ . . . ,

При цьому iнте ральнi члениf (∞у виразi) = 0. äëÿ

486

ε скорочуються.