Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

1

iвняння Максвелла зводиться˙

до хвильовогоH = rot A.рiвняння

E = −c A,

ak

1 ¨

2

k

õâèiдкреслю¹,ü

Будемо розглядати поcë2åAâ

−ñêií÷åíA =ié0.областi об'¹му

îðìó êóáà

ребром

V , ÿêà ìà¹

öiàë

L,

V = L3. озклада¹мо векторн

é ïî åí-

A = r

4πc2

X

k (ake + ake−

).

V

Такий зап споперечностiядуФур'¹

kr ùî

армонiчного

kr

A = A

сумою

A величина дiйсна,

З ум; множникгональнимив перед

ï

я введенийиплива¹, длящо комплекснiзручностi. вектори

¹ îðòî

äî

âого вектора

:

тораIз хвильовогодля рiвняння отриму¹мо рiвняння г

осциля-

(k ak) = 0.

a частотa лiнiй-

ak:

1

Ó çâ'ÿçêó ç öèì êîå iöi¹íòèa¨k + k2ak = 0.

c2

÷àñó

частотою

ak мають гармонiчну залежнiсть вiд

ωk = kc,

Äëÿ

ak e−iωk t.

ïèìàò

a

k

у пок знику експоненти iксу¹мо знак

−

, òîäi äëÿÿ a

k

ливихимемо. знакЗагаломармонiк+ . Уажучи,зв'язкуми повиннiцимзробимовзя зауваженнядля

äî

знакомОну нак бiнацiюостаточнийсумизаг

k

результатiздодатнимизалишитьсдатноювiд'¹мнимитим самим,

якщоамипiд.

k

âiä'¹ìíîþ

k

в доданках iз до

частотою для

ak

частотою для

простiа

472перепозначення.

a

çàìiíèòè k íà

−

k

провести

k

векторами, Ïðи цьому двокр тне пiд

Обчислимо повну енер iю в об'¹мi V :

1

2

2

1

1

2

2

Пiдставляю÷è ухвиль з для

˙

+ [ A] dr.

E =

8π

Z (E + H ) dr =

8π Z c2 A

е ер iю поля через вел

иниE розкл д потенцiалу A, з пишемо

сумовування за

îâè

ak

ak.

що виника¹ у виðàçi äëÿ

наслiдок його квадратè÷íî¨ îðìè çà

E

представленнязапросторовимисимволу змiнКроíимиераз

-

використаннямA, зводиться iнтепiсляральногоiнтеру

до однократного:

δk,k′ = V Z

eir(k−k′)dr

1

c2

X

1

2

1

k

E =

a˙ka˙−k +

a˙ka˙k +

a˙ka˙−k

2

c2

c2

c2

+

([k ak][k a−k]) + 2([k ak][k ak]) + ([k ak][k a−k]) .

Далi, використовуючи рiвностi

випливаю ь iзa˙ часово¨= iω

aзалежностi, a˙ = iω

a ,

ùî

k

−

k

k

k

величини

k

k

ak, розпису¹мо

X

ak, ak

до дiйсних

2

пдершийврахованоiчетвертий([k умовуa ][k aпоперечностiа])òðåòié= ([a é[kостаннiй.aÓ ]]результатik) =доданкиk a aотриму, виразi¹мо, длящо

k

−k

k

−k

k

−k

E скорочуються, а решта дають

Перейдемо тепер вiдE = 2

2

2

ωk |ak| .

комплексних величин

k

Qk = ak + ak,

Q˙ k = iωk(ak − ak).

473

1

˙

1

˙

Qk

Qk

ak

= 2

Qk − iωk !

,

ak =

Qk +

! .

2

iωk

У нових величинах повíà åíåð iÿ ïîëÿ

1

X

2

Унаслiдок поперечносEëÿðí= ié ï (ëÿQвектори+ ω Qk

2

k

k

поляризацi¨,

ek,α одиничний вектор

k

до хв льового вектора

ak ¹ перпе дикулярним

омпонентинi, перпендику

, òîáòî

, а площинiтакж

ïëîù

k

äî

ak

Qk лежать у

ê

k. Òîìó â öié

Qk ì๠äâi

Qk,1

Qk,2:

αX

äå

Qk =

ek,αQk α,

=1 2

Наприклад, якщо

напрямок хвильового

âåêò ðà

ek,αek,α′

= δαα′.

äîâæ îñi

k вибрати уз

zлiнiйнуекартовiй с стемi

кдорiвнюватимеоординат,диничнi вектори

-

вектораятьтпрополяризацi¨вiдповiднополяризацiювздматимутьвж осiвздовжнапямокцих осей. Якщота ,складоваг

ek,1

ek 2

x

y

îñi

√

√

1/ 2

набира¹З

y

урахуваннямвигляду, (тутто цьогговорiдалiятьповнапроенеркруговуiя елполяризктромàгнiтногоцiю. поля

(±i/ 2)

α набува¹ знач ння 1, 2):

1

X X

˙

2

2

2

Цейихгвиразармонiчних¹нещоосцE =iíøå,èляторiв,кзсумаузагальненими(Q åíåð+ ω Qiй сукупн).оординстiтаминезалеж

2 α

k,α

k

k,α

k

i ìàñ ìè

Qk,α

ç

m = 1

474ñò âëÿ¹ìî ç ëiíiéíèì

-

поляризац. Процедуру,i¹þ ÿêóçi

осцилятором

α

гармонiчнимk частотою ωk

= kc

˙

мiльтонаТепер рiвняннякласичнiйполя набуваютьмеханiцi:P =виглядуQ . канонiчних рiвнянь а-

àáî

k,α

k,α

∂H

∂H

першеiмпульсу,˙ рiвнянняа другезводитьсрiвняння˙äîäà¹ââåäеного означення уза-

гальненогоСправдi,

Qk,α = ∂Pk,α ,

Pk,α = −∂Qk,α .

˙

2

Pk,α

= −ωkQk,α

¨

2

çíà¹ìî,

k,α

k

звiдси рiвняння д

Qk ç ak, то ми знову дiстанемо

ãî ïîò íöiàëó

ak, як ¹ хвильовим рiвнянням для векторно-

якогодинамiкизводятьсями

нашомущовипадкуелектромагнiтнерiвняння

свема¹касично¨лаiмпульс.електроi до

полеМакIз

A

P = â4πc Z

Ôóð'¹[E H] dr.ласичних виразiв для

1

Використовуючи розклади

ðÿäè

òà

E

H, отриманих

¨х означення через веêторний потенцiал A,

X

r

E

=

4

k

k

akeikr − ak e−ikr ,

475

V

c

ˆ

! ,

Bˆk,α = r

ωk

Qˆk,α −

Pk,α

2~

iωk

Оберненi рiвностi:Bˆk,α = r

2~

Qˆk,α + iωk

! .

+

ωk

ˆ

Pk,α

спiввiдношення:

Qˆk,α = s

~

2ωk

Bˆk+,α + Bˆk,α ,

Комутацiйнi

Pˆk,α =

r

Bˆk+,α − Bˆk,α .

~ω

ˆ

ˆ+

ˆ+

ˆ

Bk,αBk′,α′

− Bk′

,α′Bk,α = δkk′δαα′ ,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

= 0,

Bk,αBk′,α′ − Bk′,α′Bk,α

ˆ

+ ˆ+

ˆ+

ˆ+

= 0.

амiльтонiан поля Bk,αBk′,α′ − Bk′,α′Bk,α

Bk,α i

Bk,α

íà ñòàí ïîëÿ òàêi:

оператор iмпульсуH =

α

k

~ωk

Bk,αBk,α + 2 ,

ˆ

X X

ˆ+

ˆ

1

ïîëÿ

X X

Дi¨ операторiв

ˆ

ˆ+ ˆ

P =

~ kBk,αBk,α.

α

k

ˆ

ˆ+

Bˆk,αΨ...,Nk,α,... = p

Ψ...,Nk,α−1,... ,

Nk,α

Bˆk+,αΨ...,Nk,α,... = p

478

Nk,α + 1Ψ...,Nk,α+1,...

ˆ

ˆ+ ˆ

називаютьдорiвнюютьоператоромчислучислачення отонiв:отонiв, оскiльки його власнi зна-

Nk,α = Bk,αBk,α

ˆ

Ψвизнача¹ться= N рiвняннямΨ

.

Вакуумний стан поляN

k,α

. .,Nk,α,...

k,α ...,Nk,α,...

для всiх значень

ˆ

Bk,αΨ...,Nk,α,... = 0

ðàìè.

Îñêiëüêè

ak

в розкладi Фур'¹ для

A

замiнити операто-

ak

ak

=

1

α

Pk,α

,

2

ek,α Qk,α − iωk

X

1

Pk,α

раторамиквантуваннядля.Зквантурахздiйсуванню¹мослiдознаÿ замiвиконатиченняоюоперкооакiрдинаторзмiни:iватпородженнятаiмпульсiвi зниопе-

щення

ak

=

2

α

ek,α Qk,α + iωk

,

X

X

~

ak →

ek,αs

2ωk

Bˆk,α

,

α

X

~

ak →

ek,αs

2ωk

Bˆk+,α.

479

α

Таким чином, оператоð âåêòорного потенцiалу

розкладiв

нихотриму¹моОператоривеличинA =

k

α

ek,α e

Bk,α + e−

Bk,α .

X X

2πc2~

ikr

ò

kr

+

ˆ елементпруженостейарнознаведенихелектричноговищеˆ

магнiтногоˆ для класичполiв-

E à H:

лектромагнiтного

X X

àìiëü

ïîëiâ),

r

вiльного

îòîíiâ

Eˆ

= i

X X

2π~ω

k ek,α

e krBˆk,α − e− krBˆk+,α ,

k α

V

апаратнiтногосу,знайшлиЗупинимосьМиделi H =

k

α

s V ωk

[kek,α]

e

Bk,α − e−

Bk,α .

ˆ

2πc2~

kr ˆ

kr ˆ+

ëüÿ:

остейрiвнiстiтонiана,змiнних¹електричногоадекватнимполя.повМатемамож.щодозалежаòiмаичнийïмагоумо

знищеннясукупн(гяких

åòè÷

го повизнаквантуператорiвенцiалупитаннi,рочилиелектромагнiтногоджполяення,поляерапружвання âiä

векторнелектромагнiтногоператорiвпвиглядовели

Зрозумiло,

òè àìïëiòóäà

стану

ïîëÿ

Ψ...,Nk,α ,...

ðîê

ординатаких

çìiííèõ

можна вибрати

сукупнiсть

осциляторiв,

. . .} або сукупнiсть узагальнених iмпульсiв

{. . . Qk,α

Змiнними,

кучи iмпульсамибудемо мати. отонiв

цi щовеличининiчого неспiльногозвичайнихмають.У координатамицьомувипад

{. . ìè. , Pk,α, . . .}

нiхвильовихдлярiзнихункцiйΨ

координатномуяк добутокчи iмпульсномуосциляторнихзображен

...,Nk,α,...

èльймовiрностiункцi¨поле,того,знахщодятьсякоординативласнеоколi квантоточки-

вихмають змiст амплiтудk αякi.Хвмоделюють

Ψ... Nk,α ,...

= Ψ(. . . , Qk,α

, . . .)

{. . . Qk,α, . . .}

ëåííÿ.

{. . . , Nk,α, . . .}, коли говорять про

представ-