Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

3

hθ, ϕ|1, 0i = −r

cos θ,

4π

Функцi¨

hθ, ϕ|1, −1i = −r

8π e−iϕ sin θ.

Лeжандраhθ, ϕ|l, mi

можна записати через

ïðè¹äíàíi ïîëiíîìè

sinm θ

d

m

Plm(cos θ)

=

Pl(cos θ)

де полiном Лежандра=

(2−ll! sinm θ d cos θ

sin2l θ,

d

l+m

)l

d

l

sin2l θ.

Тепер

Pl(cos θ) =

(−

2ll!

d cos θ

Якщо врахувати,hθ, ϕ|l, mi =ùî(−)l √2π s

2l + 1 (l + m)!

òî÷íiñòþ

−

óíêöiÿìè

(−)l збiгаються зi с еричними

òî

P m(cos θ) = ( )m

(l + m)!

P

−m(cos θ),

l

(l

−

m)!

l

m eimϕ

2l + 1

(l

−

m)!

m

Öi óíêöi¨θ, ϕ l,çm = ( )l+äî

çíà

êà

P

(cos θ).

2 (l + m)!

h |

−

√2π s

l

eimϕ

302 Y

(θ, ϕ) = (

)m

P m(cos θ).

l,m

−

√2π s

2 (l + m)!

l

1

3

Y0,0

=

√

,

Y1,0 = r

cos θ,

4π

4π

3

Y1,±1

=

r

e±iϕ sin θ,

8π

Y2,0

=

r

5

(3 cos2 θ

− 1),

16π

Y2,±1

=

r

e±iϕ

cos θ sin θ,

8π

Y2,±2

=

r

15

e±2iϕ sin2 θ,

32π

Y3,0

=

r

7

(5 cos3 θ

− 3 cos θ),

16π

21

Y3,±1

=

r

e±iϕ(5 cos2 θ − 1) sin θ,

64π

Y3,±2

=

r

105

e±2iϕ sin2 θ cos θ,

32π

35

3iϕ

3

знайдених ункцiй при

Тепер¨iнвердекiлькаi¨, якслiвоператполяга¹проïåретвореннязамiнi

Y3,±3

=

r 64π e±

sin θ.

потенцiальна

iнверсi¨

операцiþ çäiéñ þ¹

р iнверсi¨

(x, y, z) (−x, −y, −z). Öþ

ричних коордиíàòàõ

àê

ˆ

îперацiя еквiвалентнаI. Легко бачити,замiнiункцiящокутвс е-

θ, ϕ

π

−

θ, ϕ + π При цьому хвильова ункцiя

π

θ, ϕ + π l, m =

l

h

−

|

(−) hθ, ϕ, |l, m

никоператоррнихзначень. Îòæå,l не змiню¹приоперзн

ка,цi¨ iнверсi¨длянепарниххвильовадiста¹ множдля-

(−1) тобто хвильовакомуту ункцг

,

амiль¹тонiаном,парноюабобтонепарною. Якщо303

çàêвлеквiвалентнимионстивостiпiдкçаконбереженнязбережендляiзичних.щослабкихпарностiОдусистеакядзеркалiенертутвза¹мо.ŸОскiль35,iнту¨цiяi¨..абсолютнийiнту¨цiядiйТобтоСпiнони(диввiдлiвеак.наступнийпiдводитьжповсхарактер,неправезмiнюються,непарагзмiнюютьсяяк,цейвнапридосвiдзакониродiа)то2-.

порушу¹ться¹клад,н

xOy

Пiвцiлi з ачення квантового числ , що визнача¹ квадрат ку

тового моменту, як ми бачили, не

ÿ ïðè îðáiò

-

-

частинки,оординатазиваютьальномументмомент..дноМеЯкарж

внутрiшнiй,спiномел

анiзмякiйсiчностiсiстивчаальнимнийаснийишевонаинкиормуванняхвильдорiвнюютьзна¨¨яквнутрiшнiймоментом,.частинкрухДецимацiяцiлеово¨невласногоóiмпульсупросторi,.нóтобтокцi¨Умоментлевiхпiвцiлиха¹тьсцiйча.моментурозглядатиМоментсистемiчастинкия,тинкияккiлькреалiзуютьстознми¨¨остiприченьвжекiлькостiiмпулькiлькоординатназивають¨¨повнрухузазначали,ññòi,è.цеахстемiЦейрухурухучастинкотже,поворотахнаслiдокКрамерса,¨¨

хабоматиорбзв'язiмпульсу,щознару

j

их частинок

. Ùå . Êðî

розглядав власний мех

Îäâi 2кинув цю моневiдомийель через телi,

ùî ëiíié

швидкiсть поверхнi

àêî¨

íi÷

й момент електрона як обертан я твердого тiла навколо осi.

àê, çà ïîðà îþ Â. Ïàó

Â. àéçå

áåð à

. À.

âií

Л. Пастер у 1848 роцi заува ив вiдсутнiсть симетрi¨ правого i лiвого на

èõ

ìà þíêiâ

брали за тра арет свою рукуПричина,переважно лiву, тобтоПочаткуонтури

деяких рг

сполуках бiологiчн х структур. Однак акi

синте

зованi

вiдтворюють цю сим трiю.

отже, поляга¹штучноне iзич

них зак нах, зокрема, ¨¨

е можна

ïð

електр

ìàãíiòíèì âçà¹ìîäiÿì,

були синтезоанiчнихлише лiвi структури, àáî

процесi

люцi¨ вони люкту

ацiйноаводисполукиправою.

виявились у вигiднiших умо ах,писатиправi зникли, що й спостерiга¹мабо

якi вiдповiдають за структуру молåêóë,

òîìó ùî

самого

сьогоднi. Ще

дним доказом цього ¹ те, що первiснi

художники для наскель-

304

iвню¹ однiйспiу другiйвiсь . Пiд цим розумiютьнейтрон,говорять,мприкладсимальщо ¨¨значенняспiндо

випадкуiншi,тарнi ч зiстискладнихки,як електрон,частинокzористовуючидиницяхпроа ~

~/2

òîí,. Ñïií

ìþîí,àþòü íåакiйтриноелемента-

омпонентHe, оператора. спiну для

Установимо вигляд ма риць к

3

що матрицяj =é1/ãî2, âèê

ати Ÿ33. Пригадаймо,

дiагональною:резу

z- омпоненти ¹

Îñêiëüêè

îâi

=

~mδj′j δm′m.

j′, m′ Jˆz j, m

h

|

|

m = 1/2, −1/2, то матриця цього оператора

âií

Jz =

~/2

~

= 2

.

ˆ

0

~

1 0

øЯкдзищоовкрутитьспобачивгеи,дiелементiвкрутитисщо.кричатьВласне,крутия,хлопбувя,--

0 − /2

0 −1

щасливий,цяПригадаймогонятьiлосо3звiрОддзв,нбiгйогоою,щоаледоiлосопiзнавiдлишене¨,далi,разувiнiграшщвештавсярозумiтиняднубнасторожувавсящокупiйматии,жно¨мить,ненульi, завждивзагхопившидрiбницi,потiм.Вiнтам,некидав. значIзвертякзищойноде-от¨¨узавжди,гралисянапокинаприклад,увагидзиземлюåння матричнихвонайомудiтипочиналате,.щеi

òüñÿ,

à÷à¹, ùîá

áóâ

хопле

àëi âñå. . . I

бачив и, як готуються

запустити дзи у,

èé

що тепер

пощастить, . . .

20 I. О. Вакарчук

Франц

Ка ка. Перетворення

Лiтературнанадi¹ю,енцiя Пiрамiда . Львiв, 2005. 305

Оповiдання у п рекладi Iвана Кошелiвця.

J можемо записати в такому вигëÿäi:

Jˆy

=

~

0 1

~

0 0

~

0 1

2i

0

0

2i

1 0

= 2

−1 0

−

Оператор =

2

0

−i

.

~

i

ˆ

0

ˆ

~

σˆ ,

онатись,

J =

2

σˆ = iσˆx + jσˆy + kσˆz ,

де матрицi Паулi

σˆx =

0 1

σˆy =

−

,

σˆz

=

1

0

.

1 0

i

0

0

−1

Легко перек

що ал ебра цих операторiв така:

σˆx2 = 1,

σˆy2 = 1,

σˆz2 = 1,

σˆxσˆy = iσˆz

σˆz σˆx = iσˆy

σˆyσˆz = iσˆx.

т ве число

ˆs,

êâàí-

j через s:

~

Зауважимо, що

îìáiíàöi¨Ïàˆs äð=ëióгогорσˆ .зом з одиничною матрицею

2

ˆ

утворюють повний н бiр. Це означа¹, що будь-який о ератор I

ìàктрицею

ˆ

тиякийвиглядiзобража¹тьсялiнiйно¨

порядку, можна ïредставиf-,

20*

ˆ

ˆ

307

f = aσˆx + bσˆy + cσˆz + dI.

стануЗнайдемо власнi ункцi¨ операторiвкватернiоном2. Äëÿ îñíовного

ˆ

ˆ

Jz

J

|j, m = |1/2, 1/2i ма¹мо рiвняння

У матричнiй ормi цей кетJ

-

2

, 2 E

= 0.

ˆ âåêòîð

а рiвняння для нього:

2 ,

2 E

= β

,

1

1

α

0

α

0

0

β

Цеумовам:наомтричною4ïагавсяВидатнийривелолекснихзнайтиiнтерпретйогочиселлавнову1843дськацi¹ю,системуроцiйякматематикдодлявинайденняомплекзвичайосновнiВiльямíèõ êчиселомпватерноуанексзонiвтакоюамiльтонихчиселжчотинаоч(1805ичленнихплощинiою1865)гео-.

Êâàòåðíiîíè

кватернiîíà,

ïiäê ðенi таким

2 = j2 = k2 = −1,

êâатернiон

ij = k,

ki = j,

jk = i,

ji = −k,

t −

−1(xσˆx + yσˆy + zσˆz )

Величину

ik = −j,

kj = − .

Легквòернiокторамiльтоназаíоюiв,уважитамiль.що.тонВi,кликщоалозвавосновнiйгозаймалинерозумiнняскалярноюшколадиницiвинятковiриличастин¹матрицямиспрâåîунтивюiверсальнесцеуматематичномуПалi,знаякiченняпомноженiiйсвiтiтеорi¨твор.-

наквачос

t

ix + jy + kz

√

− −1

√

√

√

Îòæå,

= −

,

зобразити

−1 σˆy ,

k = −

308знача¹ться:

−1 σˆx

j = −

−1 σˆz .

можна

ÿê

ìiñöå òà

кватернiонiв у

√

Öèì

ðîëü

математицi.

.

i âè-

Çâiäñè β = 0, а з умови нормування

нахточнiстюдио,

ùî

(α β )

α

= α 2 + β

2 = 1,

покладемо до

|α|

2

= 1

β

|

|

|

|

ç

азового.множниОскiльêиа, хвильовуто,незменшуючиункцiюзагальностi,визнача¹мо

α = 1. Îòæå,

ñòàí,=

.

óíêöiÿ îïè2ñó¹,

E

1

1

1

Ця хвильова

у якому проекцiя спiну на вiсь

äîðiâíþ¹

z

~/2. Часто ¨¨ позначають скорочено як

çíàõi ãîâîдиморять,

хвильовущовонаопису¹

=

1

ункцiю,станякаспiнопису¹уверхстан. Iз загально¨спiн униз ормули

| ↑i

0

Îòæå,=

,

−

E

=

,

=

=

.

| ↓i

1

1

Jˆ−

1

1

E

.

=

0

| ↓i

1

Знайдемо явнi вирази для операторiв повороту. Почнемо з

ˆz

ˆ

i ϕ2 σz

i J~z ϕ

Rϕ =

e

= e

ϕ

+

iϕ

2

1

σˆz2 +

iϕ

3

1

= Iˆ

+ i

σˆz

σˆz3 + · · ·

2

2

2!

2

3!

= Iˆ

1 + 2!

2

+

4! 2

+ · · ·!

309

2

4

1

iϕ

1

iϕ

+

σˆz

iϕ

+

iϕ

3 1

+ · · ·!

= Iˆcos

ϕ

+ iσˆz sin

ϕ

2

2

2

2

.

Матриця=

cos 2

+

i sin

2

=

ei ϕ2

i ϕ

1 0

ϕ

1 0

ϕ

0

0 1

0

−1

0 e− 2

ˆz

ˆ

Rϕ, ÿê i Jz

, ¹ дiагональною.

Аналогiчно

àáî

ˆy

ˆ

θ

+ iσˆy sin

θ

,

Rθ = I cos

2

2

Нарештi

Rˆθ =

2θ

θ

θ

.

y

cos

sin 2θ

− sin 2

cos 2

ˆx

ˆ

α

α

Rα = I cos

2

+ iσx sin

2

,

x

cos α2

i sin α2

розпадЯк iлюстрацiю застосуванняˆ

знайдених виразiв розглянемо

Rα

=

α

α

.

i sin

2

cos 2

утворенняпаду адронiвчастинокроçпадурахунок.Цейрозпадслабко¨¹