6.3. Изменение коэффициентов критерия

Влияние изменения коэффициентов критерия на оптимальное решение задачи хорошо видно на графике в пространстве двух управляемых параметров. Оптимальное решение не меняется, если вектор коэффициентов критерия (градиент функции) меняется в конусе градиентов активных ограничений.

Если меняется только коэффициент (пусть это цена второго вида продукции), то

– при оптимальное решение переходит в другую угловую точку области допустимых решений.

– при оптимальное решение также меняется.

– при оптимальное решение остается неизменным.

Как найти оптимальное решение задачи с измененными коэффициентами критерия, используя оптимальную симплекс-таблицу исходной задачи?

Пусть, для простоты, меняется только один коэффициент критерия. Будем отдельно рассматривать два случая:

– Меняется коэффициент критерия при свободной переменной оптимального плана

– Меняется коэффициент критерия при базисной переменной оптимального плана :

Симплекс-таблица оптимального плана . Имеет вид

		c1	c2	---	cm	cm+1	---	cj	---	cn
Св	Бп	x1	x2	---	xm	xm+1	---	xj	---	xn	b
с1	x1	1	0	---	0		---		---
---	---	---	---	---	---
сm	xm	0	0	---	1
	F	0	0	---	0		---		---		F(x*)

Изменение коэффициента критерия при свободной переменной

Пусть меняется коэффициент критерия при свободной переменной :

Оценки в симплекс-таблице вычисляются по известной формуле

Если меняется коэффициент при свободной переменной, то вектор коэффициентов при базисных переменных не меняется. Поэтому в симплекс-таблице меняется только одна оценка – при переменной

Для оптимальности решения она должна оставаться неотрицательной (в задаче максимизации).

Поэтому прежнее решение остается оптимальным, если .

Если , то тогда , прежнее решение не оптимальное и нужно выполнить несколько итераций симплекс-метода для получения нового оптимального решения.

Пример:

В плане работы ЦБК, работающем по трем технологиям с затратами древесины по третьей технологии 110 м3 в смену, определить в каких пределах может меняться расход древесины по третьей технологии, чтобы при этом прежнее решение оставалось оптимальным.

Симплекс-таблица для оптимального решения этой задачи имеет вид

		100	120	110
Св	Бп	x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
120	x2	0	1	8/15	-1/50	1/60	0	100
100	x1	1	0	2/5	1/100	-1/40	0	150
0	x6	0	0	8/3	2/5	-1/6	1	1000
	F	0	0	-6	-7/5	-1/2	0	27000

Таким образом, мы пришли к выводу, что оптимальное решение сохраняется, если расход древесины не менее 104 м3.

Найдем оптимальное решение, лежащее вне этого интервала.

Пусть расход древесины удалось уменьшить до

Выполняя одну итерацию симплекс-метода,

		100	120	110
Св	Бп	x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
120	x3	0	15/8	1	-3/80	1/32	0	375/2
100	x1	1	-3/4	0	1/40	-3/80	0	75
0	x6	0	-5	0	1/2	-1/4	1	500
	F	0	-15/8	0	-109/80	-17/38	0	26812.5

получим новое оптимальное решение