- •Экономический факультет Кафедра экономической информатики в.С. Громницкий
- •Введение
- •Задачи принятия решений
- •Математическое моделирование
- •Часть I. Линейное программирование Глава 1. Линейные математические модели в экономических исследованиях
- •1.1. Экономические задачи
- •Задача объемного планирования
- •Задача о диете
- •1.2. Общий вид математической модели задачи линейного программирования
- •1.3. Различные формы задач линейного программирования
- •Приведение задачи линейного программирования от одной эквивалентной формы к другой.
- •Примеры решения задач
- •1.4. Графическое решение задач
- •Свойства области допустимых решений
- •Глава 2. Математические свойства задачи линейного программирования
- •2.1. Свойства области допустимых решений
- •2.2. Базисные и опорные решения
- •Глава 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
- •3.1. Идея симплекс-метода
- •3.2. Векторное представление симплексных преобразований
- •3.3. Симплекс-метод в уравнениях
- •3.4. Симплекс-метод в таблицах
- •Правила построения симплекс-таблиц
- •Этапы симплекс-метода
- •3.5. Варианты разрешимости задачи линейного программирования
- •3.6. Предупреждение зацикливания симплекс-метода
- •Глава 4. Метод искусственного базиса
- •4.1. Построение начального опорного плана
- •Пример построения начального опорного плана
- •4.2. Решение задачи линейного программирования методом искусственного базиса
- •Пример решения задачи методом искусственного базиса
- •Глава 5. Теория двойственности в задачах линейного программирования
- •5.1. Построение двойственной задачи и ее экономическая интерпретация
- •Математическая формулировка двойственной задачи к произвольной задаче линейного программирования
- •Правила построения двойственной задачи
- •5.2. Математические свойства пары взаимно двойственных задач
- •В арианты разрешимости задач двойственной пары
- •Вторая теорема двойственности
- •5.3. Анализ чувствительности оптимального решения к изменению свободных членов ограничений
- •5.4. Определение оптимального решения двойственной задачи из оптимальной симплекс-таблицы прямой
- •5.5. Двойственный симплексный метод
- •Глава 6. Послеоптимизационный анализ задачи линейного программирования
- •6.1. Добавление нового ограничения
- •6.2. Добавление новой переменной
- •6.3. Изменение коэффициентов критерия
- •Изменение коэффициента критерия при свободной переменной
- •Изменение коэффициента критерия при базисной переменной
- •6.4. Изменение технологических коэффициентов
- •Изменение технологических коэффициентов при базисной переменной
- •Изменение технологических коэффициентов при свободной переменной
- •Часть II. Методы нелинейной оптимизации
- •Глава 7. Классическая теория оптимизации
- •7 (3) .1. Необходимые условия оптимальности
- •7.2. Достаточные условия оптимальности
- •Глава 8. Нелинейное программирование
- •8.1. Задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •8.2. Задачи выпуклого программирования
- •Задания к лабораторным работам
- •Литература
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
Экономический факультет Кафедра экономической информатики в.С. Громницкий
Методы оптимизации
Курс лекций
Рекомендован методической комиссией экономического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 080801 «Прикладная информатика (в экономике)»
Нижний Новгород
2010
УДК 65.012.122 (075.8)
ББК Ув6я73
Г 87
Г87 Громницкий В.С. Методы оптимизации. Курс лекций: Учебное пособие – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2010. – 104 с.
В пособии представлен материал по разделам прикладной математики, освоение которых необходимо для первоначального ознакомления с математическими методами принятия решений в экономико-управленческой сфере.
Приводится классификация задач принятия решений, дается понятие математического моделирования. Подробно излагаются методы линейного программирования, включая теорию двойственности и послеоптимизационный анализ. Даются основы нелинейного программирования.
Пособие предназначено для студентов экономического факультета университета, обучающихся по специальности «Прикладная информатика в экономике», может быть полезно для научных и практических работников, занимающихся вопросами моделирования и оптимизации экономических процессов.
Рецензент: доцент, к.э.н. Пчелинцев Александр Дмитриевич
ББК Ув6я73
© Громницкий В.С., 2010
© Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского, 2010
Содержание
Введение 4
Задачи принятия решений 5
Математическое моделирование 7
Часть I. Линейное программирование 9
Глава 1. Линейные математические модели в экономических исследованиях 9
1.1. Экономические задачи 9
1.2. Общий вид математической модели задачи линейного программирования 11
1.3. Различные формы задач линейного программирования 11
1.4. Графическое решение задач 16
Глава 2. Математические свойства задачи линейного программирования 19
2.1. Свойства области допустимых решений 19
2.2. Базисные и опорные решения 21
Глава 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования 23
3.1. Идея симплекс-метода 23
3.2. Векторное представление симплексных преобразований 24
3.3. Симплекс-метод в уравнениях 25
3.4. Симплекс-метод в таблицах 27
3.5. Варианты разрешимости задачи линейного программирования 31
3.6. Предупреждение зацикливания симплекс-метода 32
Глава 4. Метод искусственного базиса 33
4.1. Построение начального опорного плана 33
4.2. Решение задачи линейного программирования методом искусственного базиса 35
Глава 5. Теория двойственности в задачах линейного программирования 37
5.1. Построение двойственной задачи и ее экономическая интерпретация 37
5.2. Математические свойства пары взаимно двойственных задач 40
5.3. Анализ чувствительности оптимального решения к изменению свободных членов ограничений 48
5.4. Определение оптимального решения двойственной задачи из оптимальной симплекс-таблицы прямой 55
5.5. Двойственный симплексный метод 57
Глава 6. Послеоптимизационный анализ задачи линейного программирования 62
6.1. Добавление нового ограничения 63
6.2. Добавление новой переменной 64
6.3. Изменение коэффициентов критерия 67
6.4. Изменение технологических коэффициентов 70
Часть II. Методы нелинейной оптимизации 72
Глава 7. Классическая теория оптимизации 72
7.1. Необходимые условия оптимальности 72
7.2. Достаточные условия оптимальности 73
Глава 8. Нелинейное программирование 76
8.1. Задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. 76
8.2. Задачи выпуклого программирования 79
Задания к лабораторным работам 80
Литература 98