5.4. Определение оптимального решения двойственной задачи из оптимальной симплекс-таблицы прямой

П

(1)

(2)

(3)

усть исходная задача дана в канонической форме

(4)

Оптимальное решение получено симплекс-методом, – базисная матрица оптимального решения.

Оптимальное решение двойственной задачи (по первой теореме двойственности)

,

элементы строки оценок в оптимальной симплекс-таблице прямой задачи вычисляются по формулам

(5)

Подставляя (4) в (5) получим

Памятуя о том, что ограничение двойственной задачи, соответствующее переменной прямой задачи, имеет вид

(6)

, или , выводим из (6) важное свойство оценок :

Оценка переменной в симплекс-таблице равна разнице левой и правой части соответствующего ограничения двойственной задачи.

Из соотношения (6) легко найти компоненты оптимального решения двойственной задачи.

Действительно, пусть – единичный вектор с единицей в i-ой строке. В исходной симплекс-таблице всегда есть такие вектора.

Оценка переменной согласно (6) запишется

(7)

,

откуда

Таким образом, для определения компоненты оптимального решения двойственной задачи следует в исходной симплекс-таблице выбрать единичный столбец с единицей в i-ой строке. Тогда компонента равна оценке переменной из оптимальной симплекс-таблицы плюс коэффициент критерия этой переменной

Пример:

Найдем оптимальное решение двойственной задачи к задаче раздела 5.2 о работе предприятия по двум технологиям.

Воспроизведем для наглядности решение симплекс-методом

	F	8	3	0	0	-M
Св	Бп	x1	x2	x3	x4	x5	b
0	x3	2	1	1	0	0	12
0	x4	1	0	0	1	0	4
-M	x5	1	1	0	0	1	6
	F	-8-M	-3-M	0	0	0	-6M
0	x3	0	1	1	-2	0	4
8	x1	1	0	0	1	0	4
-M	x5	0	1	0	-1	1	2
	F	0	-3-M	0	8+M	0	-2M+32
0	x3	0	0	1	-1	-1	2
8	x1	1	0	0	1	0	4
3	x2	0	1	0	-1	1	2
	F	0	0	0	5	3+M	38

Единичная матрица в исходной симплекс таблице расположена в столбцах 3, 4, 5.

Оптимальное решение двойственной задачи будет находиться в строке оценок оптимальной симплекс-таблицы под единичной матрицей исходной симплекс-таблицы: