Частный случай - 2 |
Одна поверхность пластины |
|
|
|
теплоизолирована (q =0), |
|
на другой задана температура t2 |
|
|
|
|
|
q x2 |
C x C |
|
|
|||||
t x |
v |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г.У. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
0 |
|
|
t( |
2 |
) t2 |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t x t2 |
qv x2 |
|
|
qv |
x |
3qv 2 |
|||||||
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
81
Поле температуры в цилиндрической стенке без |
|
|||||||||||||||||||||
тепловыделения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2t |
2t |
|
1 t |
1 2t |
|
2t |
|||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
r2 |
|
r |
r2 |
2 |
z2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2t |
|
1 dt |
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dr 2 |
r dr |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия однозначности |
|
|||||||||||||||||||
|
|
1. |
геометрические - r1, |
r2 |
||||||||||||||||||
|
|
2. |
|
физические |
|
- |
|
|
||||||||||||||
t(r1) t1 |
t(r2 ) t2 |
3. |
|
начальные |
|
- |
|
|
||||||||||||||
4. |
|
|
|
граничные |
|
I рода |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
82
Поле температуры в цилиндрической стенке
замена переменных |
dt |
u |
dr |
|
du |
1 |
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|||
|
dr |
r u 0 |
|
u |
|
r |
|
|
|||||||||
|
После двукратного интегрирования |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t r C1 ln r C2 |
|
|
|||||||||||
C1 |
|
|
t1 t2 |
|
C2 t1 |
|
|
|
|
t1 t2 |
|
ln r1 |
|||||
|
|
|
ln r1 r2 |
|
|||||||||||||
ln r1 r2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
t(r) t1 t1 t2 |
ln r |
r1 |
|
|
|
|
|||||||||||
ln r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
83
Поле температуры в цилиндрической стенке
Логарифмический закон изменения температуры по радиусу является следствием уменьшения плотности теплового потока с увеличением радиуса.
Количество тепла, проходящее через цилиндрическую поверхность |
|||||||||||||||
F 2 rl в единицу времени |
Q |
dt |
F |
|
|
|
|
|
dt dr |
||||||
|
|
|
|
|
dr |
из решения уравнения |
|||||||||
|
Q |
2 l(t1 t2 ) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ln d |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 1 |
|
|
|
ql |
|
Q |
|
(t1 t2 ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тепловой поток, отнесенный к единице длины |
l |
|
1 |
d2 |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 ln d |
||||||||||
трубы (линейный тепловой поток) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
84
Поле температуры в цилиндрической стенке с внутренним тепловыделением
цилиндрическая стенка с внутренним радиусом r1, наружным r2 , с постоянным коэффициентом
теплопроводности и равномерно распределенными источниками тепла qv
|
|
d 2t |
|
|
1 dt |
|
qv |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
tf |
|
dr2 |
|
r dr |
|
|
|
|
dt |
|
|
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
r r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
при |
|
q 0 |
или |
|
dr |
|
r1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
при |
|
r r2 |
|
dt |
|
|
|
|
t2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
dr |
|
r |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
используем метод подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
qvr 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dt dr u |
|
|
|
t |
|
C1 ln r C2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
умножаем на rdr |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
85
Поле температуры в цилиндрической стенке с внутренним тепловыделением
|
|
|
|
|
|
Подставляем сюда r1 |
|
|
Из второго граничного условия |
|||||||||||||
|
dt |
qvr |
|
C1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
qvr12 |
|
|
|
|
qvr2 qvr22 |
|
qv |
|
r12 |
|
qvr12 ln r |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dr |
2 |
|
r |
C |
|
C |
2 |
t |
f |
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
4 |
|
2 r2 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Распределение температуры в цилиндрической стенке при заданных Г.У.
|
|
qvr2 |
|
1 |
|
|
r1 |
|
2 |
|
|
qvr2 |
2 |
1 |
|
r1 |
|
2 |
|
|
r |
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
t r t f 2 |
|
r |
|
|
4 |
|
|
r |
|
2ln r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qvr2 |
|
|
|
|
|
|
r1 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
Температура |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внешней |
|
t2 t f |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотность теплового потока на r2 |
|
|
|
Перепад температур в стенке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
q t2 t f |
q r |
2 |
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
q |
r 2 |
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||
|
|
v |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
t1 |
t2 |
|
|
v 2 |
|
|
2 |
|
|
2ln |
|
2 |
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
r2 |
|
|
|
r |
|
r |
86 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Поле температуры в сплошном цилиндре
|
|
|
|
|
|
d 2t |
|
|
|
|
1 dt |
|
qv |
|
0 |
|||||||
|
|
уравнение |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
dr 2 |
|
dr |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
t qvr 2 |
C1 ln r C2 |
|||||||||||||||||
|
|
решение |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
tf |
|
Г.У. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
dt |
|
|
|
t t f |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
dr |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1=0 |
|
|
r 0 |
dt |
|
|
|
0 |
симметрииусловие |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
распределение |
|
|
|
|
|
dr |
|
r 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
qvr0 |
qvr0 |
2 |
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
температуры в цилиндре |
t r t f |
|
|
|
||||||||||||||||||
с внутренним |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 r |
|
|
|
|
||||||||||||||||
тепловыделением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поле температуры в сплошном цилиндре
температура внешней поверхности цилиндра
t2 |
t f qvr0 |
|
|
|
2 |
перепад температур в цилиндре |
||
tf |
|
2 |
t t r 0 t2 |
qvr0 |
|
|
|
4 |
плотность теплового потока на поверхности цилиндра q r
q v20
88
Поле температуры в шаре с тепловыделением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
d 2t |
|
2 dt |
qv |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dr2 |
r dr |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
tf |
|
|
Граничные условия: |
|
|
||||||||
|
r 0 |
|
|
dt |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
dr |
|
|
||||||||
|
r r0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dt |
tw |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
||
подстановка u dt
dr
умножение всех членов уравнения (*) на r 2dr
89
Поле температуры в шаре с тепловыделением
|
dt |
qvr |
C1 |
|
dr |
||
|
3 |
r 2 |
|
tf |
|
|
|
t( r ) qvr2 C1 C2
6 r
90