Распределение температуры в пластине
2t 0 |
|
d 2t |
0 |
* |
|
|
dx |
2 |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Условия однозначности
1. |
геометрические - |
|
|
2. |
физические |
- |
|
3. |
начальные |
- |
|
4. |
граничные |
I рода |
|
|
x=0 t=t1 |
|
|
x= t=t
2
71
Распределение температуры в пластине
дважды интегрируем уравнение * :
t x C1x C2
С1 и С2 из граничных условий
t x t1 |
t1 t2 |
x |
|
|
|
тепловой поток
q dxdt (t1 t2 )
72
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Бесконечная плоская пластина толщиной |
с внутренними |
||||
источниками тепла qv Вт/м3, равномерно распределенными по |
|||||
сечению |
|
|
|
|
|
Dt |
2 |
qv |
|
||
дифференциальное |
|
||||
|
|
a t |
|
|
|
уравнение |
d |
cp |
|
||
|
|
||||
теплопроводности |
|
|
|||
|
t |
|
|
|
|
grad t |
a 2t |
qv |
|
||||||||
|
|
W |
|||||||||||||||
|
d |
cp |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
2t |
2t |
2t |
температура |
||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меняется в одном |
|||
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
направлении |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
73 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
|
|
|
|
qv const |
|
d 2t |
q |
||
|
const |
|||
|
|
|
v |
|
|
dx2 |
|
|
|
Условия однозначности
1.
2.
3.
4.
геометрические - |
|
|
физические |
- |
|
начальные |
- |
|
граничные |
I рода |
|
t( 2) t1
t( |
2 |
) t |
2 |
t |
|
|
74 |
|
|||||
|
|
1 |
|
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Последовательное интегрирование уравнения
дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t x |
|
q x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
v |
C x C |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Константы из граничных |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
условий: |
t |
|
t |
|
t |
|
t |
|
q 2 |
|||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
C1 |
|
C2 |
|
|
1 |
|
v |
|||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t x |
q |
|
2 |
x2 |
|
t |
|
t |
t t |
|
|
||||
|
v |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
1 x |
1 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Координата максимальной температуры xmax
|
dt |
qv x t2 t1 |
0 |
|||||
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xmax |
|
xmax |
|
(t2 t1) |
|
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
qv |
|
|
tmax |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
Частный случай
tmax
t
q |
q |
t1 t2 tw |
C1 0 |
t(x 0) tw qv 2 tmax
8
Перепад температур в пластине
t t(x 0) tw qv 2
8
Тепловой поток на поверхности:
q dt qv dx 2
77
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением (Г.У. III рода)
,
заданы коэффициенты теплообмена на границах 1 2 и температуры жидкостей, омывающих поверхности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t f 1 , t f 2 |
|
|
|
d 2t |
|
|
q |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
||
|
|
dx2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
граничные условия III рода |
||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
1( t f 1 t ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
dx |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
|
|
2 |
2( t t f 2 ) |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
78
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением (Г.У. III рода)
решение уравнения: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
t x |
q x2 |
C x C |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
v |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( t |
|
t |
|
|
) |
1 |
qv |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||
|
f 2 |
f 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|||||||
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тепловой поток будет меняться в зависимости от координаты х:
q |
dt |
q |
x C |
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
v |
1 |
79 |
|
|
|
|
|
Частный случай - нет внутреннего тепловыделения
|
q |
|
t f 1 t f |
2 |
|
k t f 1 |
t f 2 |
|
k – коэф. теплопередачи, |
||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
Вт/(м2К) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
полное термическое |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сопротивление |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 1 |
1 |
|
1 |
R R |
2 |
R |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
1 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 1 1 |
конвективное со |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стороны 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
кондуктивное |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(стенки) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 1 |
2 |
|
конвективное |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со стороны |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|