Нестационарное поле температуры в пластине

Решение уравнения как произведение двух функций:

(x, ) ( ) (x)

Предполагаемое решение

После разделения переменных:

подставляем в

1

1

k2

a

х

const

Решения:

a

x

2

( ) C exp k

C0 cos kx C0 sin kx

2

) k

'

"

C0 exp( ak

C0 sin(k

0) C0 cos(k 0) 0

x x 0

C'' 0

2 Г.У.

0

x

С0 C0' A

х

k A exp( ak 2 ) sin(k ) A exp( ak 2 ) cos(k )

ctg(k )

k

k

Характеристическое уравнение

Bi

ctg( )

Bi

- половина толщины пластины

1 2

3 ... n

Частные решения

A cos(

x

) exp( 2

a

)

n

n

n

n

2

Общее решение

1

2

x

a

An cos( n

) exp( n2

)

2

n 1

a

2

Общее уравнение для пластины,

n

цилиндра и шара

r

2

r

r

t tf

r R

(граничный размер)

r

В безразмерном виде

Для пластины толщиной 2

cos n x exp n2

Fo

An

0

n 1

An

2sin n

n sin n cos n

- корни трансцендентного уравнения

ctg Bi

n

Fo a 2

Bi w

J0 nR exp n2 Fo

An

0

n 1

2J1 n

An

n2 J02

n J12 n

n - корни уравнения

J 1 J 0 Bi

Fo a R2

Bi R w

Для шара радиусом R

r

sin n

An

exp n2 Fo

R

0

r

n 1

n

R

An

sin n n cos n

n

sin n cos n

n- корни уравнения

ctg 1 Bi

Fo a R2

Bi R w