Уравнение нестационарной теплопроводности
Ищем t x,
Новая переменная: t f |
t x, |
нагрев тела |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t x, t f |
|
|
|
охлаждение тела |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
t f – температура окружающей среды |
|||||||||||||||||||||
|
|
a x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
безразмерная |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменная |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение в общем виде: |
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x, Fun |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
|
|
|
erf |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение нестационарной теплопроводности
|
2 |
|
z |
2 |
- интеграл ошибок |
|
|
|
|
|
|
|
|
erf z |
|
|
0 |
|
d Гаусса (табулированная |
|
|
|
|
||||
|
|
|
exp |
|
||
|
|
|
|
|
|
функция ошибок) |
erf 0 0
erf 1
122
Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением
Малое внутреннее термическое сопротивление
температура тела изменяется во времени, но одинакова во всех точках тела
Дано:
Произвольное тело объемом V и поверхностью F c начальной температурой tо , охлаждается в среде с
температурой tf
Баланс энергии для твердого тела:
c V ddt t t f F
уменьшение |
количество тепла, |
|
|
внутренней энергии тела |
|
|
|
отводимое от поверхности конвекцией |
|||
|
|
123 |
|
Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
Решение уравнения |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
о tо t f |
|
|
|
o e |
c V |
||
|
|
|
|
|
L V |
|||
|
|
α F τ λw |
|
|
|
|
||
α F τ |
|
L a |
Bi Fo |
|
F |
|||
c ρ V |
c ρ V λ |
|
|
L2 |
|
|
||
|
w |
|
|
|
|
|||
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число Био |
|
|
Число Фурье |
|||
|
|
(Biot) |
|
|
|
(Fourier) |
|
|
o e Bi Fo
124
Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением
Мгновенная плотность теплового потока от тела:
|
|
|
|
|
|
|
t |
f |
q |
|
t |
|
|
Суммарное количество тепла, отданное телом за время
|
|
Q q d tо tf F e Bi Fod |
|
0 |
0 |
Если Bi < 0,1, то ошибка не превышает 5%.
125
Поле температур в полубесконечном массиве
дерево
бетон
металл
Температуры одинаковы: пола - 20оС ноги - 36оС
Ощущения разные
126
Поле температур в полубесконечном массиве
Полубесконечное тело – тело, ограниченное одной плоской поверхностью. Температура тела вдали от этой поверхности принимается неизменной.
|
|
t |
|
2t |
Пусть тело имеет температуру |
t x,0 to |
|||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
При |
x t , to const |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
. |
|
|
|
|
|
|
|
В начальный момент времени tпов меняется |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
скачком и далее остается неизменной |
|
|
|
|
|
||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0, tпов const |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tпов t x, |
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
erf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tпов t0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
|
||||
решение уравнения |
127 |
|
Поле температур в полубесконечном массиве
Плотность теплового потока на границе x 0
q x 0, |
dt |
|
tпов to |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
erf |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
tпов to |
|
2 |
|
a |
|
|
x 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
или |
|
q x 0, |
|
|
b tпов |
|
to |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теплопроницаемость |
|
|
|
|
|
|||||||||||
b |
|
cр |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
|
|
(теплоусвояемость) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
показывает насколько велико количество тепла, воспринимаемое (или теряемое) телом через один квадратный метр поверхности при внезапном изменении температуры поверхности на 1 градус
128
Поле температур в полубесконечном массиве
|
|
|
|
|
Вт с |
1 |
2 |
|
||
Значения теплопроницаемости b |
cp |
|
|
|
||||||
|
2 |
К |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
м |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Материал |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Медь |
36 000 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Железо |
15 000 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бетон |
6 600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вода |
1 400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Песок |
1 200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дерево |
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тепловая изоляция |
5 - 200 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Накипь |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Газ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
129
Поле температур в полубесконечном массиве
дерево |
|
бетон |
|
сталь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b |
|
|
400 |
6000 |
8000 |
|
||||||
|
1 |
|
|
2 |
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q ~ b cp |
|||||||||
|
Вт с |
2 |
|
м |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130