- •Содержание
- •Глава 1. Строение и основные характеристики атомных ядер
- •§1.1. Протонно-нейтронная структура ядра.
- •§1.2. Электрический заряд ядра
- •§1.4. Энергетические характеристики ядра
- •§1.5. Размер ядра
- •§1.6. Спин, магнитный и электрический моменты ядер
- •1. Спин ядра
- •2. Магнитный момент ядра
- •3. Электрический момент ядра
- •§1.7. Возбужденные состояния ядер
- •§1.8. Четность
- •§1.9. Ядерные силы
- •§1.10. Изотопический спин
- •§1.11. Статистика
- •Глава 2. Модели атомных ядер §2.1. Необходимость и классификация моделей
- •§2.2. Капельная модель
- •§2.3. Оболочечная модель
- •Глава 3. Радиоактивные превращения ядер §3.1. Определение, виды радиоактивности, радиоактивные семейства
- •§3.2. Основные законы радиоактивного распада
- •§3.3. Активация
- •§3.4. Альфа – распад
- •§3.5. Бета – распад
- •§3.6. Гамма–излучение ядер
- •Глава 4. Ядерные реакции §4.1.Основные понятия и классификация
- •§4.2. Механизм ядерных реакций
- •§4.3. Сечения ядерных реакций
- •§4.4. Законы сохранения в ядерных реакциях
- •§4.5. Кинематика ядерных реакций. Импульсная диаграмма
- •§4.6. Реакции под действием заряженных частиц
- •1. Общие свойства
- •2. Реакции под действием α-частиц
- •3. Реакции под действием протонов
- •4. Реакции под действием дейтонов
- •§4.7. Термоядерный синтез
- •§4.8. Фотоядерные реакции
- •§4.9. Реакции под действием нейтронов
- •1. Основные свойства нейтронов
- •2. Источники нейтронов
- •3. Энергетические группы
- •4. Взаимодействие нейтронов с ядрами
- •5. Резонансные процессы
- •Глава 5. Деление ядер §5.1. Открытие и капельная модель
- •§5.2. Основные свойства вынужденного деления
§4.5. Кинематика ядерных реакций. Импульсная диаграмма
Напомним, что кинематикой называют раздел механики, посвященный изучению геометрических свойств движения тел без учета действующих на тела сил. Движение любого тела в кинематике изучают по отношению к некоторой системе координат, позволяющей задать относительное положение движущегося объекта в любой момент времени. В ядерной физике обычно используют две системы координат: лабораторную (ЛСК), связанную с ядром-мишенью, и систему центра инерции (СЦИ), определение которой будет дано ниже.
Кинематическая схема ядерной реакции и связь между энергиями, импульсами и углами вылета частиц в ЛСК и СЦИ имеет наглядное графическое представление и может быть проанализирована с помощью импульсной диаграммы (векторной диаграммы импульсов). Построение импульсной диаграммы основано на применении законов сохранения энергии и импульса.
Рассмотрение выполним для случая, когда скорости движения объектов существенно меньше скорости света, т.е. когда массы частиц m >> T – их кинетической энергии, и можно использовать законы классической механики.
Пусть имеется произвольная инерциальная система координат К', которая движется относительно ЛСК со скоростью . Тогда скорость любой из i = 1, 2, 3, . . . , N частиц в ЛСК и скорость в К'‑системе связаны следующим образом (принцип относительности Галилея):
. |
(4.5.1) |
Закон сохранения импульса для выбранной совокупности частиц записывается следующим образом:
, |
(4.5.2) |
Первое слагаемое в правой части есть суммарный импульс частиц в К'-системе, а второе - определяет импульс движения К'-системы как целого относительно ЛСК, который носит название переносного импульса. Соответствующим выбором вектора скорости можно добиться, чтобы суммарный импульс частиц в К'-системе был равен нулю:
. |
(4.5.3) |
Система координат, в которой суммарный импульс частиц равен нулю, называется системой центра инерции (СЦИ). Условимся величины, относящиеся к СЦИ, обозначать сверху значком “~” (тильда). Положив в (4.5.2) = 0, найдем скорость движения СЦИ относительно ЛСК:
. |
(4.5.4) |
Обратимся к рассмотрению процесса (4.1.1). Пусть в ЛСК частица а движется со скоростью , а ядро-мишень А – покоится. Используя (4.5.4) найдем скорость движения центра инерции системы (или составного ядра, если таковое образуется) относительно ЛСК:
. |
(4.5.5) |
Из сотношения (4.5.2) и (4.5.5) следует, что переносной импульс СЦИ относительно ЛСК равен импульсу частицы а в ЛСК:
. |
(4.5.6) |
Поместим ядро-мишень А в начале координат (рис. 4.5.1). Если частица а движется параллельно оси Х навстречу частице А, то из (4.5.5) следует, что координата центра инерции на оси Х в любой момент времени связано следующим образом с координатой ха частицы а:
, |
(4.5.7) |
т .к. скорость движения вдоль оси Х есть dx/dt. На рисунке показано, что центр инерции всегда располагается между частицами а и А, двигаясь вдоль оси Х со скоростью , относительно ядра-мишени А.
Найдем с помощью (4.5.1) и (4.5.5) скорости движения частицы а и ядра-мишени А в СЦИ и соответствующие им импульсы:
|
(4.5.8) |
|
(4.5.9) |
Таким образом, импульсы частиц а и А в СЦИ равны друг другу и противоположно направлены, как и должно быть.
Используя (4.5.8) и (4.5.9), выразим суммарную кинетическую энергию частиц a и А в СЦИ через кинетическую энергию Тa частицы a в ЛСК
. |
(4.5.10) |
Кинетическая энергия есть энергия взаимного движения частиц а и А и она меньше суммарной кинетической энергии Т1 = Та на величину
|
(4.5.11) |
которая есть ничто иное, как кинетическая энергия движения центра инерции системы (или составного ядра) относительно ЛСК. Действительно, кинетическая энергия движения частиц а и А относительно ЛСК равна
. |
(4.5.12) |
Очевидно, что кинетическая энергия (4.5.12) движения центра инерции системы не может перейти во внутреннюю энергию частиц и не может быть использована в ядерной реакции.
На этом закончим рассмотрение входного канала процесса (4.1.1) и перейдем к рассмотрению выходного канала.
В ЛСК сумма импульсов частиц b и В, образовавшихся в результате ядерной реакции, по закону сохранения импульса равна импульсу налетающей частицы а:
. |
(4.5.13) |
Н а рис. 4.5.2 представлена схема одного из возможных вариантов разлета продуктов реакции, а на рис. 4.5.3 графический аналог векторного уравнения (4.5.13). На этих рисунках и φ – углы вылета частиц b и B относительно направления движения частицы а. Очевидно, что отрезок СВ на рис. 4.5.3 равен импульсу на рис. 4.5.2. Остальные величины совпадают с рис. 4.5.2. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать векторный треугольник АСВ (рис. 4.5.3).
Так как сумма импульсов частиц b и В относительно ЛСК согласно (4.5.6) должна быть равна импульсу , т.е. (см. (4.5.6))
, |
(4.5.14) |
то отношение
, |
(4.5.15) |
и в соответствии с (4.5.15) точка О на рис. 4.5.3 делит отрезок АВ = на отрезки АО = и ОВ = , т.е. АО/ОВ = ma/MA.
Очевидно, что ОС = , так как
, |
(4.5.16) |
а угол на рис. 4.5.3 - есть угол вылета частицы b в СЦИ.
Вектор , согласно свойствам СЦИ, равен вектору по абсолютной величине:
, |
(4.5.17) |
и направлен в противоположную сторону, т.е. частицы b и B в СЦИ разлетаются с равными и противоположными импульсами.
Вычислим величину . Из формулы (4.4.6):
, |
(4.5.18) |
Или, учитывая (4.5.10),
. |
(4.5.19) |
Из последнего уравнения находим
, |
(4.5.20) |
где
|
(4.5.21) |
- есть приведенная масса частиц b и B.
П олученные результаты можно использовать для построения векторной диаграммы импульсов, графически связывающей импульсы в ЛСК и СЦИ. Для этого отрезок АВ, изображающий импульс Ра (рис. 4.5.4), надо разделить точкой О в отношении . Затем из этой точки радиусом (4.5.20) следует провести окружность, которая является геометрическим местом точек С для любого угла вылета частицы b. Тогда, если известна хотя бы одна из величин Рb , РB , , φ, , , то из диаграммы можно определить графически все остальные.
В случае упругого рассеяния (Q = 0) состав выходного канала тождественен составу входного канала и из (4.5.20) следует, что
. |
(4.5.22) |
Далее построение векторной диаграммы импульсов для упругого рассеяния не имеет особенностей и выполняется аналогичным образом.
Приведем теперь несколько примеров применения законов сохранения в ядерных реакциях.
Определим энергетический порог для эндоэнергетической реакции. В СЦИ из формулы (4.4.6) имеем
|
(4.5.22) |
и, следовательно, минимальное значение (когда - продукты реакции неподвижны) составит
. |
(4.5.23) |
Используя (4.5.10) найдем минимальную кинетическую энергию частицы а в лабораторной системе координат (ЛСК):
. |
(4.5.24) |
Полученное значение кинетической энергии бомбардирующей частицы в ЛСК, при котором становится возможным протекание эндоэнергетической реакции, называется порогом реакции.
Получим формулу (4.2.2) для вычисления возможной энергии Wc возбуждения составного ядра. По определению
, |
(4.5.25) |
где массы основного и возбужденного состояний составного ядра выражены в энергетических единицах.
Пусть ядро-мишень А покоится. Запишем законы сохранения энергии и импульса для первой стадии реакции
a + A С*, |
(4.5.26) |
стадии образования составного ядра С* (звездочка означает возбужденное состояние):
, . |
(4.5.27) |
Рассмотрение проведем для нерелятивистского случая, когда кинетическая энергия налетающей частицы Та ≤ 10 МэВ << ma. Тогда
. |
(4.5.28) |
Подставляя (4.5.28) в (4.5.27), получим квадратное уравнение для нахождения :
. |
(4.5.29) |
В (4.5.29) последнее слагаемое составляет ничтожную долю от первых двух, так как . Поэтому в качестве первого приближения принимаем . Для получения второго приближения подставляем это выражение в (4.5.29). Получаем
. |
(4.5.30) |
Подставив (4.5.30) в (4.5.25), получим формулу
. |
(4.5.31) |
Первый член в этом выражении есть ни что иное, как энергия отделения частицы а от составного ядра (см., например, (1.4.17)). Второй член - суммарная кинетическая энергия частиц a и А до реакции в системе центра инерции. Итак,
|
(4.5.32) |
На рис. 4.5.5а приведена энергетическая диаграмма для экзоэнергетической реакции (Q > 0), а на рис. 4.5.5б - для эндоэнергетической реакции (Q < 0). На диаграммах изображен процесс образования составного возбужденного ядра и его распад с образованием част иц B и b для обоих типов реакций. Sа = MA + ma - Mc – есть энергия связи частицы а, а Sb = MB + mb - Mc – частицы b относительно составного ядра Мс соответственно.