Метрология-681.2.М54 - часть 1

случайные величины. При равномерном распределении неисключенных остатков систематической погрешности относительные значения границ определятся по выражению:

где k – поправочный коэффициент, зависящий от числа компонентов m и доверительной вероятности Рд (табл. 1.1);

i – значение погрешности i-й составляющей НСП;

bi – коэффициент влияния i-го слагаемого на конечный результат. Если нет данных о степени влияния каждой составляющей НСП, то указанный коэффициент принимают равным единице.

Т а б л и ц а 1.1

Значения коэффициента k в зависимости от числа слагаемых и доверительной вероятности Рд

Результирующее значение границ НСП описывается выражением:

трудную метрологическую задачу. Важность ее определяется тем, что знание систематической погрешности позволяет внести соответствующую поправку в результат измерения и тем самым повысить его точность. Трудность же заключается в сложности обнаружения систематической погрешности, поскольку она не может быть выявлена путем повторных измерений.

ность при первом измерении, оказала противоположное действие на результат второго измерения. В качестве примера рассмотрим взвешивание на равноплечих весах (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Взвешивание груза с использованием метода противопоставления (перестановки)

Условие равновесия весов:

где Мх – неизвестная масса груза; МN – масса набора гирь;

l1 и l2 – длина плеч.

Если длина плеч одинакова, то Мх = МN, если нет, то при взвешивании каждый раз возникает систематическая погрешность. Для исключения этой погрешности взвешивание проводится в два этапа. Первый этап – уравновешивание груза Мх гирями массой МN1:

Второй этап – повторное уравновешивание весов после перемещения груза Мх на ту чашу весов, на которой были гири. Равновесие будет достигнуто при использовании гирь массой МN2:

Как видно из полученного выражения (1.11), длина плеч не входит в окончательный результат взвешивания.

Втех случаях, когда не представляется возможным исключить систематическую погрешность непосредственно в процессе измерения, ее оценивают при обработке результатов измерения. Такая задача в каждом конкретном случае решается индивидуально.

1.4.Случайная погрешность

Всоответствии с РМГ 29-99 случайная погрешность – это составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях одной и той же физической величины, проведенных с одинаковой тщательностью.

Присутствие случайных погрешностей в результатах измерений легко обнаруживается из-за разброса относительно некоторого значения в ходе многократных измерений. Для анализа случайных погрешностей применяются методы теории вероятности и математической статистики.

Вкачестве действительного значения при анализе случайных погрешностей выступает среднее арифметическое значение

n

xi

где хi – значение величины, полученное в результате i-го эксперимента; n – количество выполненных измерений (объем выборки).

Для оценки рассеяния отдельных результатов измерения xi относительно среднего значения определяют среднее квадратическое отклонение (СКО) результата измерения:

n

(xi x )2

Для оценки возможного отклонения среднего арифметического значения от истинного значения рассчитывают СКО среднего арифметического:

x n

При обработке результатов измерений, содержащих случайную погрешность, необходимо иметь информацию о законе распределения случайной

величины. Встречающиеся в метрологии распределения достаточно разнообразны. Выявлено более 200 фактических распределений случайных погрешностей, имеющих место при измерении электрических и неэлектрических величин разнообразными приборами.

В практике измерений наиболее часто встречаются равномерный и нормальный законы распределения, а также распределение Стьюдента.

Равномерное распределение (рис. 1.5, а) имеют погрешности квантования в цифровых приборах, округления при расчетах, отсчета показаний стрелочного прибора. Плотность равномерного распределения определяется по выражению:

Распределение Стьюдента (рис. 1.5, б) применяется при анализе случайных погрешностей, когда число наблюдений относительно невелико (2 < n < 20). Плотность распределения Стьюдента характеризуется формулой:

Рис. 1.5. Графики плотности распределения случайных величин:

а – равномерный закон; б – закон распределения Стьюдента, нормальный закон

Нормальное распределение (см. рис. 1.5, б) наиболее распространено в практике электрических измерений. Этот закон характеризуется действием совокупности влияющих факторов, каждый из которых не является существенно преобладающим.

сбоев в их работе и др.). Возможной причиной возникновения промахов могут быть кратковременные резкие изменения условий проведения измерений.

Для оценки промахов применяется ряд критериев.

Если число наблюдений больше 20, то можно воспользоваться правилом трех сигм. По этому критерию считается, что если при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера сомнительное показание x* отличается от среднего арифметического значения x более чем на 3S, то с вероятностью 0,997 оно является ошибочным и должно быть исключено из массива данных:

Второй способ применяется при небольшом количестве экспериментальных данных (менее 20), он основан на критерии Романовского:

Если неравенства (1.20) и (1.21) выполняются, то x* считается промахом.

1.6.Виды измерений

Взависимости от способа обработки экспериментальных данных измерений для получения результата различают следующие виды измерений: прямые, косвенные, совместные и совокупные. Они же в зависимости от числа измерений делятся на однократные и многократные.

Прямое измерение это измерение, при котором значение величины находят непосредственно из опытных данных.

Пример прямого измерения: измерение напряжения вольтметром, длины – линейкой, температуры – термометром.

Косвенное измерение это определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной. При косвенном измерении значение измеряемой величины получают путем решения уравнения Y F( x1 , x2 , x3 , ..., xn ) , где x1 ,x2 ,x3 ,...,xn значения величин, полученные в результате прямых измерений.

Пример косвенного измерения: сопротивление резистора определяют из выражения rx UI , в которое подставляют результат прямых измерений паде-

ния напряжения U и протекающего через резистор тока I (см. рис. 1.1). Совместные измерения одновременные измерения значений несколь-

ких неодноименных величин для определения зависимости между ними. Например, требуется определить градуировочную характеристику термосопротивления. Выбирается зависимость вида rt r0 (1 At Bt 2 ) . Измеряется сопротивление при трех различных значениях температуры. Из системы трех уравнений определяют r0, А, В.

Совокупные измерения одновременное измерение нескольких значений одноименных величин, при котором искомое значение находят решением системы уравнений, составленных по результатам прямых измерений различных сочетаний значений этих величин. Например, необходимо измерить сопротивления rab ,rbc ,rca , включенные по схеме треугольника. Прямым методом измеряют сопротивления rвх1, rвх 2 , rвх3 (рис. 1.6), составляют систему уравнений с тремя неизвестными:

kп = 1 %, шкала равномерная, максимальное число делений αmax = 150 дел. Вольтметр показал значение U = 12,3 В. Необходимо записать результат измерения для доверительной вероятности 0,95.

Решение.

В данной задаче методическая погрешность является составляющей систематической погрешности и возникает из-за наличия в схеме вольтметра с конечным значением внутреннего сопротивления. В соответствии с выражением (1.1) абсолютное значение методической погрешности определится по формуле:

где U0 = Ir – действительное значение напряжения на резисторе, которое определяется из условия rv = ∞.

Измеренное значение U определится по выражению:

Подставив U и U0 в формулу для определения мет, получим:

Значение I неизвестно, поэтому от абсолютных значений перейдем к относительным, т. е. вычислим относительную методическую погрешность:

Таким образом, относительная погрешность не зависит от показаний приборов и от значения тока и напряжения в схеме, она зависит только от соотношения сопротивлений.

Зная мет, найдем мет и, следовательно, поправку

0,122 В.