8), их соединяющий, перпендикулярен этой плоскости. Такой вектор называют нормалью к плоскости. Точка N (x, y, z) лежит в плоскости тогда и только тогда, когда вектор MN (x – 2, y – 3, z – 5) перпендикулярен нормали. Условие перпендикулярности легко выразить, если воспользоваться скалярным произведением: (x − 2)2 + (y −3)4 + (z −5)8 =0 . Это уравнение несложно

упростить и привести к виду Ax + By + Cz + D = 0.

Как следствие из приведенных рассуждений можно привести уравнение плоскости по нормали и точке: (x − x0 )a + (y − y0 )b + (z − z0 )c =0 , где

(x0, y0, z0 ) – координаты точки плоскости, (a, b, c) – координаты нормали.

Вывести уравнение плоскости по координатам трех точек можно, вос-

пользовавшись векторным произведением. Пусть M1, M2 и M3 – три точки плоскости. В этом случае легко сможем найти нормаль к плоскости – векторное произведение M 2M1 и M3M1 . Зная точку M1 и нормаль, напишем уравнение плоскости. Но используя смешанное произведение векторов, можно говорить о том, что произвольная точка M (x; y; z) лежит в плоскости, определяемой точками M1(x1, y1, z1) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) и M3 (x3, y3, z3 ) , если векторы MM1 , M 2M1 , M3M1 компланарны, т. е. их смешанное произведение равно нулю. Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через три данные

Во всех этих случаях получается уравнение первой степени, только они задают плоскости, поэтому геометрическому понятию плоскость в пространстве соответствует алгебраическая запись Ax + By + Cz + D = 0.

7.2. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве

Аналогично тому, как это было сделано для плоскости, выводится общее уравнение прямой на плоскости: Ax + By + C = 0. Пусть нормаль имеет коор-

динаты (a, b), точка М0 (x0, y0) лежит на прямой. Тогда точка М (x, y) лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор MM0 перпендикулярен нормали,

т. е. (x – x0)a + (y – y0)b = 0 – уравнение прямой по нормали и точке. Уравнение вида y = ax + b (через угловой коэффициент и точку) является частным случаем общего уравнения прямой, но задает не все прямые, поскольку вертикальную прямую таким уравнением записать невозможно.

27

Задание прямой в пространстве. Пусть точка А (x0, y0, z0) лежит на прямой, q – направляющий вектор. Тогда точка В (x, y) лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор АВ параллелен q.

Допустим, что точка r0 лежит на прямой, а вектор q является направляющим. Тогда уравнение прямой можно записать так: r 0(t) = qt , где t при-

нимает все вещественные значения. В координатах такое уравнение записывается следующим образом: x = x0 +lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt и называется

параметрическим уравнением прямой в пространстве.

Можно записать условие коллинеарности векторов AB и q по-другому

(через пропорциональность координат): t = x −l x0 = y −my0 = z −nz0 . В этом

случае получится каноническое уравнение прямой: x −l x0 = y −my0 = z −nz0 . В

каноническом уравнении записывают 0 в знаменателе при необходимости, но это не деление на ноль. Имеется в виду, что соответствующая координата направляющего вектора равна 0.

Если представить прямую как пересечение плоскостей, то, поскольку каждая точка на прямой должна одновременно удовлетворять уравнениям этих плоскостей, можно записать ее в виде системы уравнений (общее урав-

ществует не единственное общее уравнение прямой в пространстве, поскольку одну прямую можно различными способами представить в виде пересечения двух плоскостей.

8. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором геометрические задачи решаются аналитическими (алгебраическими) методами. Основой методов решения являются уравнения, которыми задаются геометрические объекты. Уравнения первой степени задают прямые и плоскости. Возникает вопрос: что задают уравнения второй степени на плоскости и в пространстве?

28

8.1. Кривые второго порядка

Пусть дано уравнение второй степени: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

(*), причем хотя бы одно из чисел a, b, c не равно 0. Кривая на плоскости, задаваемая этим уравнением, называется кривой второго порядка (КВП). Рассмотрим виды кривых второго порядка (классификация КВП).

Если a и c не равны 0 в уравнении (*), то можно свести уравнение к виду a1x2 + c1y2 + e1 = 0. При этом получится или сумма квадратов, или разность квадратов, упростив которые, получим: при x2 + y2 = f > 0 эллипс (окруж-

прямых. Если в первоначальной формуле a = 0 или c = 0, то уравнения задают параболу или две параллельные прямые.

Можно говорить о вырожденных (прямые, точки) и невырожденных КВП: эллипс, гипербола и парабола, определение которых можно дать и геометрически. Эллипс – множество точек, сумма расстояний до которых от двух данных точек равна константе. Эти две точки называют фокусами эллипса. Гипербола – множество точек, модуль разности расстояний до которых от двух данных точек равен константе. Эти две точки называют фокусами гиперболы. Парабола – множество точек, равноудаленных от прямой и точки. Точку называют фокусом, прямую – директрисой.

Уравнение эллипса, гиперболы и параболы можно получить, используя их геометрическое определение. Эллипс, гиперболу и параболу получают как пересечение конуса с плоскостью. Если плоскость пересекает все образующие конуса, получим эллипс, если пересекает все образующие, кроме одной, получим параболу, а если не пересекает бесконечно много образующих, получим гиперболу.

Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы. Если луч све-

та вышел из одного фокуса эллипса, то после отражения от него он пройдет через другой фокус. Если луч света вышел из одного фокуса гиперболы, то после отражения от нее его продолжение в обратную сторону пройдет через другой фокус. Если луч света вышел из фокуса параболы, то после отражения от нее он пройдет перпендикулярно директрисе.

29

8.2. Поверхности второго порядка

Общее уравнение: ax2 + by2 + cz2 + dxy + eyz + fxz + gx + hy + iz + j = 0 ,

причем хотя бы одно из чисел a, b, c, d, e, f не равно 0.

Упрощениями можно привести уравнение к разным частным случаям. Если выражение не зависит от z, поверхность называется цилиндром. В зависимости от формы сечения плоскостью z = 0, цилиндр бывает круговой, эллиптический, параболический и гиперболический. Рассмотрим теперь по-

верхность вида x2 + y2 − z2 = a . Если a = 0, то x2 + y2 = z2 задает конус

вращения. Если а > 0, то однополостный гиперболоид (результат вращения гиперболы вокруг не пересекающей ее прямой). Если а < 0, то двуполостный гиперболоид (результат вращения гиперболы вокруг пересекающей ее прямой, состоит из двух не связанных между собой частей).

Теперь рассмотрим поверхности, в которых z в первой степени, а две другие переменные во второй степени. Уравнение z = x2 + y2 задает параболоид вращения, который является частным случаем эллиптического парабо-

ревал.

Оптические свойства поверхностей вытекают из свойств их сечений (КВП) и используются в отражателях, в локаторах – параболоиды, в трансляторах – гиперболоиды. Интересно, что в романе А. Н. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина» (1927) оптическое свойство параболы ошибочно приписано гиперболе, отсюда название романа. Возможно, это было сделано умышленно, ведь слово «гиперболоид» звучит эффектнее, чем «параболоид».

Список рекомендуемой литературы

1.Абрамова М. Н., Куприянов А. И., Толкачева Е. А. Матрицы, определители, системы линейных уравнений: метод. указания к решению задач. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006.

2.Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: учеб. для вузов:

в3 т. Т. 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Т. 3:

30

Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2006.

3.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. М., Высш. шк., 2012.

4.Жарковская Н. А., Зельвенский И. Г. Введение в линейную алгебру: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008.

5.Сборник задач по математике для втузов: учеб. пособие для втузов: в 4 ч. Ч. 1, 2 / под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. М.: Физматлит, 2003.

31

Иванов Сергей Георгиевич Толкачева Елена Алексеевна Чирина Анна Владимировна

Лекции по линейной алгебре и геометрии

Учебное пособие

Редактор Н. Ю. Меньшенина

______________________________________________________________

Подписано в печать 26.12.17. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Печ. л. 2,0.

Гарнитура «Times New Roman». Тираж 131 экз. Заказ 212.

_____________________________________________________________

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

32