1.3. Геометрический смысл действий над матрицами

Наиболее распространенные преобразования пространства (симметрии, повороты, подобия, проектирования, сдвиги) обладают линейными свойствами. Но возникает вопрос: как описать это преобразование?

В общем виде преобразование пространства задается формулами преобразования координат произвольной точки пространства:

координаты точки, координаты сдвига, матрица линейного преобразования.

Примеры:

a)для описания растяжения прямой линии относительно какой-либо точки в два раза, то рассмотрев данную точку как начало координат, введя единичный отрезок, можем говорить, что каждой точке с координатой х ставится

всоответствие точка с координатой 2х. Т. е. в одномерном случае растяжение

вдва раза описывается формулой x′ = 2x , где 2 – матрица из одного элемента;

b)если плоскость необходимо сдвинуть на вектор с координатами (2, 3),

начала координат можно описать, как умножение столбца координат на мат-

Если рассматривать композицию преобразований (преобразования, выполненные одно за другим), то итогу будет соответствовать произведение матриц. Итак, матрицы являются языком для записи преобразований линейных пространств. Каждое преобразование можно записать при помощи матрицы, произведение матриц соответствует композиции преобразований.

7

2.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ

2.1.Определители матриц низших порядков

Определители матриц второго порядка. Прежде чем дать определе-

ние, поставим вопрос: во сколько раз линейное преобразование плоскости изменит площадь фигуры? Для ответа рассмотрим преобразование единичного квадрата и найдем площадь его образа. Если преобразование задается мат-

лом равным а11а22 −а21а12 . Следовательно, площадь фигуры изменится в

число раз, связанное с элементами матрицы преобразования. В частности, если значение этого выражения равно 0, то образ квадрата имеет нулевую площадь (отрезок, точка), т. е. преобразование является проектированием.

Определителем (детерминантом) матрицы второго порядка

Примеры:

a)−1 4 = −18; 5 − 2

b)а + b а −b = 4ab;

а −b а + b

c) для того, чтобы доказать, что поворот плоской фигуры на угол α вокруг начала координат не изменяет ее площади, достаточно показать, что

Свойства определителей второго порядка:

• величина определителя не меняется, если транспонировать матрицу.

8

• величина определителя меняет знак, если поменять местами две строки (или два столбца) матрицы.

•величина определителя умножается на число k, если умножить на k все элементы какой-либо строки или столбца;

•величина определителя равна 0, если две строки или два столбца равны между собой;

•определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей.

Определители матриц третьего порядка. По аналогии с рассуждения-

ми об изменении площади плоской фигуры при линейном преобразовании можно рассмотреть вопрос об изменении объема пространственного объекта.

увеличивает его объем.

Определителем (детерминантом) матрицы третьего порядка называет-

ся число а11а22a33 + а12а23a31 + а13а21a32 − а13а22a31 − а11а23a32 − а12а21a33 .

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом Саррюса (правилом треугольников). В каждом слагаемом по одному элементу из строки и по одному элементу из столбца, всего шесть слагаемых. Cо знаком «+» те слагаемые, в которых одна сторона параллельна главной диагонали, и со знаком «–» те, в которых сторона параллельна другой диагонали.

Упражнения:

9

2.2. Определители матриц высших порядков

Сначала определим понятие перестановки и понятие четности перестановки. Перестановка набора из n чисел (k1, k2, ..., kn ) – это набор тех

же чисел, но переставленных в каком-либо порядке. В частности, перестановкой является расположение чисел в первоначальном порядке. Например (1, 3, 2) – перестановка набора (1, 2, 3).

Перестановка называется четной, если в ней ч етное количество «неправильных пар», т. е. пар чисел, в которых большее число впереди меньшего, и нечетной, если это количество нечетно.

Примеры:

a)найти четность перестановки, полученной из набора (1, 2, 3, 4, 5, 6) заменой каждого числа k на остаток от деления 3k на 7. Ответ: получается нечетная перестановка (3, 6, 2, 5, 1, 4);

b)с четностью и нечетностью перестановок связана история с «игрой в 15». Неразрешимость перестановки, в которой поменяли местами фишки номера 14 и 15, объясняется тем, что четность количества «неправильных пар»

–это инвариант (не изменяется). Первоначально одна неправильная пара, поэтому их и останется нечетное количество.

На примере определителя матриц третьего порядка (см. выше) заметим закономерность: если упорядочить множители по первому индексу, то со знаком «+» будут те слагаемые, в которых перестановка вторых индексов является четной, а со знаком «–» слагаемые, в которых эта перестановка нечетна. Исходя из этого наблюдения, можно обобщить понятие определителя для

сматриваемой перестановки.

Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

10

На практике по такой формуле вычисляют только определители второго и третьего порядков, определители более высокого порядка обычно сводят к вычислению определителей меньшего порядка. Проведем рассуждения на

=а11а22a33 + а12а23a31 + а13а21a32 − а13а22a31 − а11а23a32 − а12а21a33=

=а11(а22a33 − а23a32 ) − а12 (−а23a31 + а21a33) + а13(а21a32 − а22a31)=

Получили выражение, в котором каждый элемент первой строки взят с определенным знаком (зависящим от его местоположения) и умножен на определитель уже второго порядка, полученный из исходного вычеркиванием той строки и столбца, в которых этот элемент находился. Можно сгруппировать элементы, чтобы рассматривались другие строки или столбцы.

Обобщая рассуждения на случай определителя матрицы произвольного размера n, рассмотрим строку номер i. Так как определитель представляет собой сумму произведений по n элементов, то сгруппируем произведения, в которые входят аi1,аi2, ..., ain , вынеся их за скобки в каждой группе. Каждый

из рассматриваемых элементов будет умножен на некоторое число, представляющее собой сумму произведений из (n – 1) элемента, т. е. определители порядка (n – 1). Причем в этих определителях уже не будут содержаться элементы i-й строки, а их самих будет столько же, сколько и столбцов матрицы. Определитель, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца, в которых находится элемент аik , называется минором этого эле-

мента. Представление определителя в виде суммы произведений элементов строки (столбца) на соответствующие миноры – его разложение по строке

(столбцу):

11

Определитель матрицы 4

12