5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой линейных m уравнений от n неизвестных (СЛУ) называется

Матричная запись в общем виде: AX = B, где A – матрица коэффициентов при неизвестных (основная матрица СЛУ); X – столбец неизвестных; B – столбец свободных членов. Расширенной матрицей СЛУ называется матрица, полученная приписыванием столбца В к матрице А справа, будем записывать ее как (А В). Система линейных уравнений называется однородной, если

столбец В состоит из одних нулей.

Количество уравнений не всегда равно количеству неизвестных. Некоторые СЛУ имеют пустое множество решений и называются несовместными. Система линейных уравнений называется совместной, если имеет непустое множество решений. Исследовать СЛУ – это значит решить вопрос совместности, и если она совместна, то указать число ее решений.

Упражнение. Доказать, что каждая однородная система линейных уравнений совместна.

5.1. Теорема Кронекера–Капелли

Система линейных уравнений AX = B совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы (А) равен рангу расширенной матрицы (А В).

Элементарные преобразования строк матрицы (А В) не изменяют ее

ранга, с одной стороны, и соответствуют равносильным преобразованиям СЛУ (не изменяют множество решений), с другой. Для сравнения рангов СЛУ удобно пользоваться методом Гаусса приведения матриц к ступенчатому виду, при этом возможно появление строк вида (0 0 0 ... 0 1). Если

хотя бы одна такая строка появилась, то СЛУ несовместна, так как такая строка соответствует уравнению 0 = 1.

Примеры:

цы равен 1 (две пропорциональные строки), а расширенной равен 2.

19

2x + 2y = 4

неизвестных, т. е. система имеет бесконечное множество решений.

Если СЛУ имеет бесконечное множество решений, то используют следующие рассуждения при записи множества. Пусть rang A = r (возможно, что r < n и r < m). Тогда считаем, что первые r строк образуют базис (иначе перенумеруем строки). Остальные строки можем отбросить (поскольку их можно выразить через первые r строк и они не несут новой информации). Переменные x1, x2, ..., xr – зависимые (базисные) переменные. Остальные –

свободные переменные, их можно выразить через x1, x2 , ..., xr . Присваивая свободным переменным значения t1,t2, ..., tn−r , выразим остальные через

них.

Пример. Найдем общее решение и какое-нибудь частное решение СЛУ

Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен 2, следовательно, система совместна. При этом в системе 4 неизвестных, следовательно, ранг меньше числа неизвестных, и система имеет бесконечно мно-

Выполним «обратный ход» метода Гаусса. Ранг матрицы СЛУ равен 2, следовательно, можно выразить два неизвестных через остальные. Будем вы-

20

частное решение при t1 =1, t2 = 2 .

5.2. Правило Крамера

Если количество уравнений в AX = B равно количеству неизвестных, то соответственно, матрица А квадратная. Невырожденными системами линейных уравнений являются системы, основная матрица которых невырождена, т. е. ее определитель не равен нулю. Невырожденные СЛУ имеют единственное решение (теорема Крамера). Такие системы могут быть решены методом Гаусса, но при решении невырожденных систем могут быть использованы и матричная запись СЛУ, и правило Крамера. Если AX = B невырождена, т. е.

det A ≠ 0, то существует A−1 и верно равенство X = A−1B .

Рассмотрим матрицу 2

21

6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ

Геометрический вектор – это класс равных по длине сонаправленных отрезков. Графически вектор обозначается отрезком прямой, на котором ставится стрелка, указывающая направление вектора, и который может быть приложен в произвольной точке пространства. О каждом направленном отрезке говорят, что он является представителем вектора.

Линейные операции над векторами.

Сложение векторов производится по правилу параллелограмма или по правилу треугольника. Результат, очевидно, один и тот же.

Умножение вектора на число. Произведением вектора a на число α называется вектор αa , такой, что: 1) αa = αa , 2) a и αa сонаправлены, ес-

ли α > 0, и противоположно направлены, если α < 0.

Упражнения. Найти сумму векторов:

a)медиан треугольника;

b)ОА+ОB +ОC, где О – точка пересечения медиан треугольника ABC;

c)из начала координат до вершин данного правильного шестиугольника, если известны координаты центра.

Линейная зависимость и независимость векторов. В пространстве геометрических векторов понятия систем линейно зависимых и линейно не-

22