Система арифметических векторов x1, x2 , ..., xn называется линейно зависимой, если существуют числа a1, a2, …, an, не все равные 0, такие, что

a1 x1 + a2 x2 +... + an xn =0 , где 0 – арифметический вектор, состоящий из

одних нулей, называемый ноль-вектор. Если таких коэффициентов не существует, то система называется линейно независимой.

Как правило, будем рассматривать вещественные коэффициенты. Если коэффициенты будут из другого множества (например, целые числа), в условии задачи это отдельно оговаривается.

Примеры:

a)система (1, –4, 0), (1, –5, 0) линейно независима;

b)система (1, –4, 0), (2, –8, 0) линейно зависима.

Если каждый вектор системы можно линейно выразить через некоторую меньшую подсистему (представить как линейную комбинацию), то говорят, что эта подсистема порождает всю систему. Базисом системы векторов называют подсистему, которая линейно независима и является порождающей. Разные базисы одной системы имеют одинаковое количество векторов.

Признак линейно зависимой системы. Система является линейно зави-

симой, если выполнено хотя бы одно из условий:

1)cодержит нулевой вектор;

2)содержит два равных вектора;

3)содержит два вектора, различающихся числовым множителем;

4)содержит линейно зависимую подсистему.

Упражнение. Являются ли системы линейно независимыми или линейно зависимыми:

a)(–3, 1, 5) и (6, –3, 15);

b)(2, –3, 1), (3, –1, 5), (1, –4, 3)?

Ответ: в обоих случаях линейно независима.

3.2. Ранги систем векторов и матриц

Рангом системы векторов называют количество векторов в базисе, т. е. максимальное количество линейно независимых элементов в системе.

Элементарными преобразованиями системы векторов называются пре-

образования, не влияющие на ее ранг, такие как исключение ноль-вектора, перестановка элементов, линейные операции над элементами.

13

Рангом матрицы называют ранг системы ее строк или столбцов (существуют теорема, доказывающая, что строчечный и столбцовый ранги матри-

цы равны). Тогда элементарными преобразованиями матрицы являются:

1.Вычеркивание нулевой строки или нулевого столбца.

2.Перестановка строк (столбцов).

3. Умножение строки (или столбца) на число, отличное от нуля.

4. Прибавление к элементам строки (столбца) элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на ненулевое число.

нии одной из строк ранг системы строк не уменьшится.

Трапециевидными или трапецеидальными называются матрицы вида

проверить, что ранг такой матрицы равен количеству ненулевых строк в ней. Для вычисления ранга матрицы обычно используют метод элементарных преобразований (метод Гаусса), поскольку при таких преобразованиях ранг матрицы не изменяется. При помощи элементарных преобразований

сводят матрицу к трапециевидной, ранг которой легко определяется. Упражнение. Найти ранги матриц:

Ответ: ранги равны соответственно 2, 3.

3.3. Связь определителей и рангов матриц

Опираясь на теорему о разложении определителя матрицы по строке или столбцу, можно доказать свойства определителей, связанные с элементарными преобразованиями матриц:

• определитель меняет знак, если какие-либо две строки (два столбца) поменять местами;

14

•если у определителя есть две равные или пропорциональные строки (два столбца), если он имеет нулевую строку (столбец), то он равен нулю;

•если какую-либо строку (столбец) умножить на число, отличное от нуля, то весь определитель умножится на это число;

•определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число, отличное от нуля.

Следует помнить, что ранг матрицы, т. е. количество линейно независимых строк (столбцов), при этом не изменяется. Т. е. определитель равен нулю, если его строки или столбцы линейно зависимы. Тогда ранг связан с порядком наибольшего ненулевого минора матрицы (равен ему).

Примеры:

также 2-й, 3-й и 4-й столбцы, составим определитель из оставшихся элемен-

ры данной матрицы третьего порядка равны нулю (в составлении минора участвует вторая нулевая строка). Значит, ранг матрицы равен 2;

нулю, так как элементы их строк пропорциональны. Миноры же первого порядка (сами элементы матрицы) отличны от нуля. Следовательно, rang A =1.

Такой метод поиска ранга матрицы носит название метод окаймляющих миноров. Но этот метод не является простым с алгоритмической точки зрения способом для квадратной матрицы, проще привести матрицу к нижнетреугольному виду. При сложении и вычитании строк матрицы ее определитель не меняется, поэтому определитель первоначальной матрицы будет равен произведению диагональных элементов матрицы, полученной в результате преобразований.

Есть еще один способ сократить выкладки: найти определитель исходной квадратной матрицы. Если он не равен нулю, то ранг матрицы равен количеству ее строк (столбцов). Но если определитель равен нулю – то данная

15

часть работы не приведет к ответу, поскольку при нулевом определителе мы знаем только то, что ранг меньше количества строк;

как определитель ненулевой, то ранг максимально возможный.

Таким образом, ранг матрицы – более тонкая оценка ее «невырожденности». Например, у невырожденной матрицы размером 4 ×4 ранг максимален и равен 4, а у вырожденной матрицы ранг меньше 4, и здесь возможны варианты – ранг равен 3, 2, 1 или 0 (для нулевой матрицы).

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И ЕЕ СВОЙСТВА

Матрица В называется обратной к данной квадратной матрице А, если АВ = ВА = Е. Обозначается A−1.

Докажем, что только невырожденная матрица обратима. Пусть A* – матрица, транспонированная к матрице из выражений вида (−1)i+ j det A(i, j) ,

т. е.

Вычисление обратной матрицы. Существует два основных метода поиска матрицы, обратной к данной.

Метод присоединенной матрицы заключается в применение формулы

A−1 = det1 A A*, где A* – матрица, союзная (присоединенная) к A.

16

Метод элементарных преобразований (метод Гаусса). Процесс поиска обратной матрицы состоит в выполнении элементарных преобразований. Пусть А – квадратная матрица. Запишем рядом с ней единичную матрицу такого же размера. Получим расширенную матрицу (A|E). Затем матрицу А элементарными преобразованиями приводим к единичному виду. Та же последовательность элементарных преобразований в правой части даст некоторую квадратную матрицу В, обратную к А. Легче не повторять последовательность преобразований строк два раза, работать сразу со строками расширенной матрицы (A|E), переводящих эту матрицу в матрицу (E|A–1). Преобразуются строки расширенной матрицы, строки длиной 2n.

Пример. Воспользуемся методом Гаусса для поиска обратной матрицы к

17

Запишем расширенную матрицу: слева данная матрица, справа – единичная порядка 3. При помощи элементарных преобразований над строками приведем эту матрицу к виду, когда слева будет стоять единичная:

Матрица, которая получилась справа искомая, для проверки надо вос-

Примечание. В некоторых случаях удобнее первый способ вычисления, в некоторых случаях второй способ.

Свойства обратной матрицы.

1.(αA)−1 = α−1A−1(α ≠ 0) .

2.(AB)−1 = B−1A−1.

3.(A−1)T = (AT )−1.

Упражнения:

2. Каков геометрический смысл преобразования плоскости, задаваемого мат-

18