МИНОБРНАУКИ РОССИИ
___________________________________
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)
_______________________________________
С. Г. Иванов Е. А. Толкачева А. В. Чирина
ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
2017
УДК 512.64(07)+514(07) ББК В143я7+В151я7
И20
Иванов С. Г., Толкачева Е. А., Чирина А. В.
И20 Лекции по линейной алгебре и геометрии: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2017. 32 с.
ISBN 978-5-7629-2135-0
Содержит материал по методике самостоятельного изучения студентами учебной дисциплины «Алгебра и геометрия» и подготовке к проверке знаний. Предназначено для организации самостоятельной работы студентов по направлениям: 12.03.01 «Приборостроение», 12.03.04 «Биотехнические системы и технологии», 20.03.01 «Техносферная безопасность».
УДК 512.64(07)+514(07) ББК В143я7+В151я7
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук С. Б. Колоницкий, кафедра высшей математики и математической физики СПбГУ; канд. техн. наук И. И. Василишин, зав. кафедрой информатики и информационной безопасности ВШ ИТАС САФУ имени М. В. Ломоносова.
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
ISBN 978-5-7629-2135-0 |
© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2017 |
2
«Эрлангенская программа» Феликса Клейна (1872), в которой он предложил общий алгебраический подход к различным геометрическим теориям
инаметил перспективный путь их развития, на новом уровне повторила открытие Р. Декарта, связанное с алгебраизацией геометрии. Алгебраические методы позволяют получать результаты, для других инструментов крайне затруднительные или вовсе недостижимые, именно поэтому в инженерное образование вошли дисциплины, связывающие алгебраические подходы и геометрические понятия.
Настоящее учебное пособие призвано помочь студентам не только организовать свою самостоятельную работу по изучению дисциплины «Алгебра
игеометрия», но и подготовиться к проверке знаний, поэтому авторы стремились как можно более тесно связать теорию и практику. Основная цель – проиллюстрировать на примерах алгоритмы решения задач линейной алгебры, их связь с геометрическими понятиями. Темы, обсуждаемые в пособии, соответствуют темам лекций для факультета Информационноизмерительных и биотехнических систем СПбГЭТУ «ЛЭТИ».
1.МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
1.1. Определение матриц
Матрица – прямоугольная таблица чисел, функций или алгебраических выражений, содержащая набор строк одинаковой длины (или, что то же самое, набор столбцов одинаковой длины).
|
a |
a |
... |
a |
|
|
|||
|
11 |
12 |
|
|
1n |
|
|
||
Произвольная матрица записывается в виде |
a |
21 |
a |
22 |
... |
a |
2n |
|
, |
A = |
|
|
|
|
|||||
|
... |
... |
... ... |
|
|
||||
|
|
|
am2 |
... |
|
|
|
|
|
|
am1 |
amn |
|
||||||
в этом случае ее называют матрицей размера m×n (m на n) и пишут Am × n . Числа, функции или алгебраические выражения aij называют элемен-
тами матриц. Например, запись am1 означает элемент в строке с номером m и столбце с номером 1. Сокращенный вид записи: A = (aij )m × n , где i – номер
строки; j – номер столбца.
Две матрицы равны, если совпадают все соответствующие их элементы. Матрицу называют квадратной, если ее «длина» равна «ширине». Квад-
ратную матрицу размера n ×n называют матрицей n-го порядка.
3
Элементы квадратной матрицы, номер строки которых равен номеру столбца, находятся на главной диагонали матрицы (идет из верхнего левого угла в правый нижний).
Примеры:
a) |
|
12 |
4 |
−1 |
– матрица размера 2 ×3; |
|
Матрица |
|
|
|
|||
|
|
|
6 |
8 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
b) |
|
|
−1 |
2 |
|
является квадратной третьего порядка; |
Матрица |
3 |
|||||
|
|
|
0 |
−3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
c) |
cos x |
sin x |
– квадратная матрица второго порядка, содержащая в ка- |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
cos x |
|
|
|
|
честве элементов тригонометрические функции; |
||||||
d) |
(1, 6, |
8, |
3) |
– матрица размера 1×4. Матрица, состоящая из одной |
||
строки или одного столбца называется арифметическим вектором;
e)(5) – матрица размера 1×1 (из одного элемента).
1.2.Действия над матрицами
Транспонирование. Транспонированная матрица – матрица ченная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
a11
AТ = a21
a...
m1
Примеры:
a |
... |
a |
Т |
|
a |
a |
21 |
... |
a |
m1 |
|
||||
|
12 |
|
|
1n |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|||
a |
22 |
... |
a |
2n |
|
= |
a |
a |
22 |
... |
a |
m2 |
|
||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
. |
||||||
... |
... ... |
|
|
... |
... |
... ... |
|
||||||||
a |
m2 |
... |
a |
|
|
|
a |
a |
2n |
... |
a |
mn |
|
||
|
|
|
mn |
|
1n |
|
|
|
|
||||||
|
12 |
4 |
−1 |
|
|
|
|
12 |
6 |
|
|
|
||
a) Если |
, то |
АТ |
= |
|
4 |
8 |
|
; |
b) (1, 6, 8, |
|||||
А= |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
6 |
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
AТ , полу-
1 3)Т = 6 ;83
|
0 |
8 |
−3 |
|
|
|
|
|
8 |
3,4 |
2 |
|
Т |
А называется |
сим- |
c) А= |
|
= А . Квадратная матрица |
|||||
|
−3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
−1023 |
|
|
|
|||
метричной, если А= АТ .
4
Линейные операции над матрицами. Линейными операциями над ка-
кими-либо объектами называют операции сложения и умножения на число. Результатом умножения матрицы Am×n на число k называется матрица
того же размера, каждый элемент которой получен умножением элемента матрицы Am × n на это число k. Таким образом, kA =(kaij )m × n .
Суммой двух матриц одного размера Am × n и Вm × n |
называют матрицу |
Сm × n такую, что cij = aij +bij для всевозможных пар i, |
j, т. е. каждый эле- |
мент С является суммой соответствующих элементов матриц А и В. Свойства линейных операций над матрицами вытекают из свойств эле-
ментов матриц: A + В = В + A; ( A + В) +С = A+ ( В+С); kA = Аk .
Примеры:
a) |
12 4 |
−1 |
− 24 |
−8 |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
(−2) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 8 3 |
|
−12 −16 |
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
b) |
1 3 |
|
|
4 1 |
, А+ |
|
5 |
4 |
|
|
−3 2 |
||
для А= |
|
|
, B = |
|
B = |
|
, |
|
А− B = |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
5 |
|
|
1 |
−3 |
− 4 1 |
|
|
− 2 |
|
|
− 4 |
||||
Так как А− B = A + (−1)B , то можно говорить, что элементы разности матриц |
|||||||||||||
есть разности соответствующих элементов уменьшаемого и вычитаемого; |
|||||||||||||
c) |
2 1 |
|
−1 |
−2 |
1 0 |
|
|
|
2 5 |
−3 |
|||
если A = |
|
|
, В |
= |
|
, то 3А + 2В = |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
−6 7 |
−8 |
|
|
0 1 |
− 4 |
−3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Умножение матриц. Операция умножения матриц АВ определена толь- |
||||||||||||
ко тогда, когда длина строки матрицы А равна длине столбца матрицы В. |
|||||||||||||
|
Произведением |
Am × n на Вn ×p |
называют матрицу Сm × p , построенную |
||||||||||
по правилу: cik = ai1b1k +ai2b2k +...+ainbnk , где 1 ≤i ≤ m , |
1 ≤ k ≤ p . Для полу- |
||||||||||||
чения элемента в i-й строке и k-м столбце произведения AB нужно использовать i-ю строку А и k-й столбец В.
Примеры:
a) |
(a |
a |
|
b |
|
= a b + a |
b |
– одно число; |
2 |
) 1 |
|
||||||
|
1 |
|
b |
|
1 1 |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
a b |
a |
b a b |
|
|
|
|||
b) |
|
1 |
|
(a |
a |
|
a |
|
)= |
|
1 1 |
a |
2 1 |
3 1 |
|
– матрица размера 3×3 |
; |
|
b |
|
2 |
3 |
|
a b |
b |
a b |
|
||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
1 2 |
|
2 2 |
3 2 |
|
|
||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
a b |
a |
b a b |
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
2 3 |
3 3 |
|
|
|
5
c) вычисляя произведения для произвольной квадратной матрицы A2×2 и
|
1 |
0 |
|
, получим равенство |
AE = EA = A. Т. е. матрица Е играет роль |
Е = |
|
|
|
||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
единицы при умножении матриц. Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны нулю, – единичная.
Не всегда для матриц верно AB = BA. Обосновать это легко примером: если матрица А имеет размер 2 ×1, матрица В – размер 1×2, тогда даже размер матрицы АВ не равен размеру матрицы ВА. А если матрицы квадратные, то легко привести другие примеры, показывающие, что произведение матриц не коммутативно, т. е. AB ≠ BA. Матрицы же, для которых выполнено равен-
ство AB = BA, называют перестановочными.
Введенные операции позволяют производить более сложные действия над матрицами, например, возводить матрицу в степень, находить значение
многочлена от матрицы, решать матричные уравнения. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
a) |
|
возведение |
матрицы в |
степень производится |
по |
правилу: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
а 5 |
|
1 |
5а |
An = A A ... A (n множителей). Легко показать, что |
|
|
= |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
||
b) |
если |
надо |
найти значение |
многочлена f (x) = 3x2 −4 |
для |
матрицы |
|||||
А = |
|
2 |
1 |
, то видно, что запись |
f (А) = 3А2 −4 будет не корректна (от мат- |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рицы размера 2 × 2 нельзя отнять число 4). В этом случае вычитание числа 4 можно трактовать как вычитание матрицы 4Е, где E – единичная матрица подходящего размера.
Тогда f (А) = 3А2 |
2 |
1 |
2 |
|
1 0 |
8 |
15 |
; |
|||||
−4Е= |
|
|
− 4 |
|
|
= |
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 1 |
0 |
23 |
|
|||||
c) для решения матричного уравнения |
|
|
0 |
0 |
|
достаточно предста- |
|||||||
X 2 = |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вить искомую матрицу в виде |
X |
a |
b |
|
и применить определения произ- |
||||||||
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ведения матриц и равенства матриц. Условию удовлетворяет каждая четверка чисел, в которой a – произвольное; d = –a; b и c такие, что bc = −a2 .
6