6552

Рецензенты:

А. В. Герасимов, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. отделом Начно-исследовательского института прикладной математики и механики ТГУ;

В. В. Кибиткин, канд. техн. наук, старший научный сотрудник Института физики прочности и материаловедения СО РАН

Черепанов О. И.

Ч 467 Идентификация и диагностика систем : учебное пособие / О. И. Черепанов, Р. О. Черепанов, Р. А. Кректулева. − Томск : ФДО, ТУСУР, 2016. − 138 с.

В пособии представлены основы теории параметрической идентификации систем с уравнением состояния в виде функциональной зависимости между входным и выходным сигналами и стационарных динамических систем, для которых закон функционирования описывается системой линейных или нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассматривается метод максимального правдоподобия, последовательной идентификации, а также метод квазилинеаризации.

Для студентов, обучающихся с применением дистанционных образовательных технологий по направлению подготовки 220400.62 – «Управление в технических системах».

Черепанов О. И., Черепанов Р. О., Кректулева Р. А., 2016

© Оформление. ФДО, ТУСУР, 2016

3

Оглавление

3.5Пример применения метода квазилинеаризации для решения задачи идентификации переменных состояния и параметров нелинейной

5

Введение

В широком смысле слова задача идентификации реальных физических систем заключается в том, чтобы по результатам измерения входного и выходного сигналов уставить закон, в соответствии с которым система осуществляет преобразование сигнала на входе в сигнал на выходе (рис. 1).

Рис. 1 – Схема к общей задаче идентификации

Таким образом, в общем случае изучаемый физический объект представляется в виде некоего «черного ящика», на вход которого поступает входной сигнал u , принадлежащий некоторому множеству входных сигналов U , а на выходе вырабатывается выходной сигнал y , принадлежащий множеству выходных сигналов Y . Задача идентификации состоит в том, чтобы восстановить по экспериментальным данным неизвестный оператор А системы, который преобразует множество U входных сигналов в множество Y выходных сигналов: y = А(u). Принято говорить, что в такой постановке задача идентификации тождественна задаче познания вообще.

Задача идентификации в узком смысле заключается в том, чтобы по результатам измерений входного и выходного сигналов оценить параметры (коэффициенты) оператора А системы, т. е. предполагается, что вид этого оператора выбран экспериментатором на этапе предварительного изучения объекта, суждений, основанных на аналогии, знании и умении применять основные законы физики к реальным задачам.

Математическую модель изучаемого объекта обычно удается представить в виде системы из двух уравнений, первое из которых описывает изменение с течением времени t вектора переменных состояния системы x(t) под воздействием входного сигнала u(t) (уравнение состояния, закон функционирования) и уравнения выходов, в соответствии с которым система вырабатывает выход-

6

ной сигнал y(t), соответствующий состоянию системы x(t) в данный момент времени:

x(t)= A1(t, x(t),u(t),θ),

(1)

y(t)= A2 (x(t)).

В этом случае по результатам измерений входного и выходного сигналов

требуется оценить значения параметров (коэффициентов) θ оператора А1 в уравнении состояния, а оператор A2 уравнения выходов обычно считается известным и характеризует, например, работу измерительного устройства.

Наиболее сложной задачей из тех, которые рассматриваются в данном пособии, является задача оценки параметров объекта, закон функционирования которого можно описать системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений вида:

тор, который определяет начальное состояние системы.

Закон функционирования (2) дополняет алгебраическое уравнение выходов, которое представлено системой линейных уравнений вида:

где y(t) ={y1 (t),..., yk (t)} – вектор измеряемого выходного сигнала; С – задан-

ная прямоугольная матрица коэффициентов.

Наиболее эффективным методом идентификации таких систем является, по-видимому, метод квазилинеаризации, который рассматривается в пособии при обсуждении такого рода задач. Рассмотрены варианты применения метода квазилинеаризации при известных начальных условиях, когда по результатам измерений выходного сигнала системы с известным алгебраическим уравнени-

7

ем выходов оцениваются параметры θ, а также общий алгоритм, с помощью которого оцениваются как начальные условия x(0) , так и параметры уравнений.

Несколько более простой является задача идентификации линейных динамических систем, закон функционирования и уравнения выходов которых имеют вид:

y(t) = Cx(t).

Элементы матриц коэффициентов A,B образуют совокупность неизвест-

ных параметров системы θ, которые требуется найти по результатам измерений входного и выходного сигналов. В этом случае также наиболее эффективным методом идентификации является метод квазилинеаризации, но возможно и применение методов, основанных на замене дифференциальных уравнений их дискретными (конечно-разностными) аналогами.

В ряде случаев связь входного и выходного сигналов системы удается описать функциональной зависимостью вида:

f (u,θ)={f1 (u,θ),..., fk (u,θ)} есть известного вида вектор – функция всех своих

аргументов, вид которой также выбирается экспериментатором по результатам предварительного изучения системы.

В общем случае функции f1 (u,θ),..., fk (u,θ) в уравнении вида (5) – нели-

нейные функции своих аргументов, поэтому при оценке параметров таких систем требуется предварительная линеаризация нелинейных уравнений задачи.

Простейшая линейная относительно неизвестных параметров θ ={θ1,...,θm} изучаемой системы модель имеет вид:

( f (u),θ) – скалярное произведение векторов.

8

Для идентификации параметров θ ={θ1,...,θm} таких систем используются, в частности, такие методы, как метод максимального правдоподобия, метод последовательной регрессии и др.

С небольшими оговорками можно сказать, что ключом к пониманию проблем, с которыми приходится сталкиваться при решении задач параметрической идентификации, является метод максимального правдоподобия, с которого и начинается изложение основного материала пособия, которое подготовлено на основе известных монографий Д. Гропа [2] и Э. Сэйджа, Д. Мелсы [10]. Для более полного понимания основных идей теории и методов идентификации в пособие включены краткие сведения по теории моделирования систем и методам планирования эксперимента [1–19].

Пособие содержит примеры решения задач по основным темам. Разбор каждого примера решения задач разными методами позволяет оценить достоинства и недостатки того или иного метода в сравнении с другими, что может послужить базой накопления личного опыта по идентификации систем.

Соглашения, принятые в учебном пособии

Для улучшения восприятия материала в данном учебном пособии используются пиктограммы и специальное выделение важной информации.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Эта пиктограмма означает определение или новое понятие.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

·····························································

Эта пиктограмма означает «Внимание!». Здесь выделена важ-

ная информация, требующая акцента на ней. Автор может поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых ошибок.

·····························································

·····························································

В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные

сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь читателю лучше понять основные идеи.

·····························································

9

·····························································

Эта пиктограмма означает теорему.

·····························································

Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале.

·······································································

························ Выводы ························

Эта пиктограмма означает выводы. Здесь автор подводит итоги, обобщает изложенный материал или проводит анализ.

·····································································

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Контрольные вопросы по главе

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

10

1 Метод максимального правдоподобия

ипоследовательная идентификация

1.1Несколько общих замечаний

Решение задачи идентификации любой реальной системы начинается с выполнения одного из самых ответственных этапов – выбора математической модели, которая должна описывать закон функционирования этой системы, т. е. выбора оператора, который описывает, каким образом реальный объект преобразует сигнал на входе в сигнал на выходе. По-видимому, нет стандартных и безотказных формальных подходов к решению этой задачи. На этом этапе широко используются суждения по аналогии, которые позволяют перенести опыт, приобретенный при изучении других объектов, на данный конкретный случай.

·····························································