6552

131

записать основные уравнения метода квазилинеаризации.

11.Для идентификации в случае известного начального состояния параметров модели:

записать основные уравнения метода квазилинеаризации.

12.Для идентификации в случае известного начального состояния параметров модели:

записать основные уравнения метода квазилинеаризации.

13.Для идентификации в случае известного начального состояния параметров модели:

записать основные уравнения метода квазилинеаризации.

14.Для идентификации в случае известного начального состояния параметров модели:

записать основные уравнения метода квазилинеаризации.

15. Применение метода квазилинеаризации к уравнению нелинейной мо-

дифференциальных уравнений, которым в этом примере должен удовлетворять вектор qµ+1(t).

133

Заключение

Пособие содержит более трехсот формул, которые описывают алгоритм применения методов максимального правдоподобия, последовательной регрессии и метода квазилинеаризации для идентификации статических и динамических систем. Можно ли и, главное, нужно ли их запоминать? Знать, понять и запомнить надо основные идеи, на основе которых эти формулы получены, тогда их вывод становится делом техники и математической грамотности. При внимательном анализе выясняется, что таких идей, на основе которых получены расчетные формулы рассмотренных методов, немного.

Прежде всего, на основе предварительного изучения системы выбирается вид модели, которая должна описывать связь входного и выходного сигналов системы.

Для метода максимального правдоподобия отправной точкой является постановка задачи минимизации среднеквадратического отклонения между реальным, экспериментально измеренным выходным сигналом, и сигналом, который рассчитывается по гипотетически принятому уравнению модели. В результате задача сводится к исследованию функций (либо среднеквадратического отклонения, либо плотности вероятности реализации экспериментальной выборки) на экстремум. Запись необходимых условий экстремума этих функций позволяет свести задачу оценки параметров линейной модели к решению системы линейных алгебраических (нормальных) уравнений относительно этих параметров.

Метод последовательной идентификации можно рассматривать как логическое следствие метода максимального правдоподобия, модифицированного благодаря применению леммы об обращении матриц, что позволяет заменить алгоритм «прямого» решения системы нормальных уравнений итерационной процедурой уточнения оценки параметров.

Первый шаг метода квазилинеаризации для оценки параметров динамических систем основан на возможности разложения нелинейных функций (правых частей системы нелинейных дифференциальных уравнений) в ряд Тейлора. Линеаризация уравнений системы дает возможность воспользоваться результатами теории решения систем линейных дифференциальных уравнений и выразить решение через матрицу Коши.

134

Матрица Коши (переходная матрица), в свою очередь, может быть найдена аналитически или одним из известных методов численного решения систем дифференциальных уравнений.

Завершающий этап идентификации параметров динамических систем вновь сводится к применению метода максимального правдоподобия или метода последовательной идентификации.

Знание этих основных идей и их «математического оформления» делает вывод всех необходимых промежуточных формул делом техники.

135

Литература

1.Пантелеев А. В. Теория управления в примерах и задачах : учеб. пособие / А. В. Пантелеев, А. С. Бортаковский. – М. : Высш. шк., 2003. – 583 с.

2.Гроп Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп. – М. : Мир, 1979. – 302 с.

3.Сигорский В. П. Математический аппарат инженера / В. П. Сигорский. – 2-е изд., стереотип. – Киев : Технiка, 1977. – 768 с.

4.Харин Ю. С. Основы имитационного и статистического моделирования : учеб. пособие / Ю. С. Харин, В. Н. Малюгин, В. П. Кирлица, В. И. Лобач, Г. А. Хацкевич. – Минск : Дизайн ПРО, 1997. – 288 с.

5.Советов Б. Я. Моделирование систем : учебник для вузов / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 2001. – 343 с.

6.Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента / В. В. Федоров. – М. : Наука, 1971. – 312 с.

7.Ермаков С. М. Математическая теория оптимального эксперимента / С. М. Ермаков, А. А. Жиглявский. – М. : Наука, 1987. – 320 с.

8.Пляскин И. И. Оптимизация технических решений в машинострое-

нии / И. И. Пляскин. – М. : Машиностроение, 1982. – 176 с.

9. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач /

Ф. П. Васильев. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. – 520 с.

10.Сэйдж Э. П. Идентификация систем управления / Э. П. Сэйдж, Д. Л. Мелса. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. – 248 с.

Новосибирск : Наука. Сибирское отделение, 1980. – 160 с.

12.Зельдович Я. Б. Элементы прикладной математики / Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкис. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. – 592 с.

13.Берман Г. И. Сборник задач по курсу математического анализа : учеб. пособие / Г. И. Берман. – 22-е изд., перераб. – СПб. : Профессия, 2003. – 432 с.

14.Креер Л. И. Сборник упражнений по дифференциальным уравнениям / Л. И. Креер. – М. : Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1940. – 160 с.

136

15.Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи : пер. с англ. / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. – М. : Мир, 1990. – 512 с.

16.Афанасьев В. Н. Математическая теория конструирования систем управления : учебник для вузов / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. – 3-е изд., испр. и доп. – М. : Высш. шк., 2003. – 614 с.

17.Годунов С. К. Разностные схемы. (Введение в теорию) : учеб. пособие / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. – 400 с.

18.Черепанов О. И. Идентификация нелинейных динамических систем методом квазилинеаризации : учеб. пособие и задания на вычислительный практикум / О. И. Черепанов, Р. О. Черепанов. – Томск : Том. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2012. – 124 с.

19.Черепанов О. И. Основы теории идентификации систем : учеб. пособие / О. И. Черепанов, Р. О. Черепанов. – Томск : Том. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2013. – 288 c.

137

Глоссарий

Базисные функции – известного вида функции входного сигнала, которые выбираются экспериментатором на основе предварительного изучения объекта исследования.

Идентификация параметрическая – оценка параметров (коэффициентов) априорно принятых уравнений модели изучаемого объекта по результатам измерений входного и выходного сигналов.

Информационная матрица – матрица коэффициентов нормальной системы уравнений.

Исходная система уравнений для оценки параметров – система алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров, которая записывается в соответствии с принятым уравнением модели по результатам измерений входного и выходного сигналов изучаемого объекта.

Квазилинеаризация – переход от нелинейной модели динамической системы к модели, линейно зависящей от оцениваемых параметров.

Линеаризация – переход от нелинейной модели к линейной.

Матрица плана эксперимента – матрица, которая содержит значения компонент вектора входного сигнала во всех опытах.

Метод последовательной идентификации (регрессии) – итерационная процедура уточнения оценки параметров модели по мере накопления экспериментальных данных, не требующая обращения информационной матрицы.

Нелинейная модель системы – модель, нелинейно зависящая как от оцениваемых параметров, так и от входного сигнала.

Нормальная система уравнений – система алгебраических уравнений для оценки параметров, решение которой минимизирует среднеквадратическое отклонение между экспериментальными и теоретическими значениями выходного сигнала.

Оптимальный план эксперимента – план, который определяет набор значений входных переменных и частоту измерений, обеспечивая некоторые заданные свойства информационной матрицы в соответствии с наперед заданной функцией цели и критерием оптимальности для выбранной модели системы.

Расширенная матрица плана эксперимента – матрица, которая содержит значения компонент вектора базисных функций модели во всех опытах.

138

Стационарная система – система, параметры (коэффициенты) уравнений состояния которой не изменяются, по крайней мере в течение времени идентификации.