6552

31

и по таблицам определяют значение критерия Кочрена для степеней свободы fi max = r −1, fi = N для уровня значимости α = 5%. Если Gtabl > G , то гипотеза об однородности дисперсий принимается.

4.На следующем, очень важном шаге, по T-критерию Стьюдента проверяется значимость коэффициентов модели. Для этого находится дисперсия коэффициентов регрессии:

и по таблицам распределения случайных величин определяют критическое значение Tcr критерия Стьюдента для степеней свободы f = N (r −1) и уровня значимости α = 5%. По этому значению строит-

ся интервал длиной r∆θ j , ∆θ j = Tcr S (θ j ), где ∆θ j – половина длины доверительного интервала. Если абсолютная величина коэффициента θ j > ∆θ j , то коэффициент считается значащим (им нельзя прене-

бречь), в противном случае соответствующий коэффициент считается незначащим и далее в модели не учитывается.

Это очень важный шаг, т. к. если все коэффициенты модели оказываются значащими, то это означает, что количество опытов равно количеству значащих коэффициентов модели. Отсюда следует, что модель должна быть признана неадекватной, т. к. в соответствии с формулой для оценки дисперсии на основании теоремы Гаусса – Маркова дисперсия будет бесконечно велика, что проявляется на следующем шаге.

5.Формальная проверка адекватности модели выполняется на основе критерия Фишера. С этой целью вычисляют дисперсию адекватности:

ние выходного сигнала, вычисленное по принятому уравнению (1.51) модели после отбрасывания (приравнивания к нулю) незначащих коэффициентов. После этого вычисляют значение критерия Фишера: F =Sad2 S2 (y). Из таблиц находят критическое значение критерия Фишера Fcr для степеней свободы Fad = N − mɶ и fk = N (r −1) и за-

32

данного уровня значимости α. При выполнении условия F < Fcr модель признается адекватной.

6. Вычисляют коэффициент множественной корреляции:

где y – среднее значение y(i) . Значение этого коэффициента находится в пределах 0 ≤ R ≤1. Если значения R близки к нулю, то коэффициенты модели не вносят вклада в изучаемую зависимость. Если же он близок к единице, то принятое уравнение полностью описывает результаты эксперимента.

·························· Пример ························

Пусть требуется найти параметры модели:

для которой матрица плана и результаты измерений выходного сигнала приведены в таблице 1.2.

Таблица 1.2 – Факторный план типа 23

Матрица планирования 23

33

1 r=2

Находим среднее значение y(i) = 2 ∑p=1 y(i), p выходного сигнала для каждой

экспериментальной точки по всем повторным измерениям и заносим эти значения в последний столбец таблицы 1.2.

Находим оценки параметров:

Находим построчные дисперсии и дисперсию воспроизводимости:

Проверяем однородность дисперсий по критерию Кочрена. Расчет отношения максимальной построчной дисперсии к дисперсии воспроизводимости дает:

35

модели ограничена интервалом изменения входных переменных ui [−1:1], возможность выхода за границы которого требует дополнительных исследований.

Коэффициент множественной корреляции в рассматриваемом примере равен:

следовательно, модель хорошо описывает экспериментальные данные.

·······································································

1.7 Метод последовательной идентификации

Рассмотрим метод последовательной идентификации линейных стационарных систем, который по точности дает такие же результаты, как и метод максимального правдоподобия, но требует меньших объемов компьютерной памяти и времени счета. Алгоритм последовательной идентификации частично снимает вычислительные проблемы, связанные с явным или неявным обращением информационной матрицы. Метод применим к процессам, которые можно считать стационарными не менее чем на m интервалах времени, в течение которых осуществляется идентификация m неизвестных параметров системы.

1.7.1 Последовательная идентификация одномерной системы

Одномерной системой называется система с одним входом и одним выходом. Рассмотрим простейшую скалярную линейную статическую одномерную систему (т. е. систему, для которой коэффициенты модели и состояние явно от времени не зависят), которая описывается уравнением:

y = uθ . (1.62) В соответствии с принятым уравнением модели для каждой экспериментальной точки при выполнении серии измерений входного и выходного сигна-

лов имеют место уравнения:

где y(i) – измеряемый выходной сигнал, y0(i) – предполагаемое точное значение выходного сигнала, µ(i) – случайная ошибка измерений, i =1,2,...,N – номер опыта.

36

Прежде всего, задача оценки неизвестного параметра θ системы может быть решена уже известным нам методом. Для этого запишем расчетные формулы, используя идеи метода наименьших квадратов.

Рассмотрим задачу минимизации среднеквадратического отклонения экспериментальных результатов y(i) и их расчетных значений y(i) = u(i)θɶN , которые

можно будет получить, если найти оценку параметра θɶN по результатам N измерений:

ω(i) – весовой коэффициент, который может быть принят равным единице, а может быть использован для того, чтобы повысить или понизить влияние отдельных измерений на оценку θɶN .

Из условия минимума функционала величины JN следует, что наилучшая оценка должна удовлетворять уравнению:

i=1

Теперь получим оценку θɶN коэффициента θ методом последовательной идентификации. При этом результат такой последовательной оценки величины θ после N измерений будет совпадать с оценкой (1.66). Рассмотрим соответствующий процесс последовательного уточнения такой оценки. Первое измерение дает в соответствии с формулой (1.66) оценку

Серия из двух измерений дает следующую уточненную оценку по формуле (1.66):

37

Однако эту формулу можно привести к виду:

(1.66) по методу наименьших квадратов, если не считать некоторой разницы в результате округления при компьютерных расчетах. С другой стороны, схема

38

(1.71) может быть признана предпочтительной, так как в этом случае расчеты ведутся по рекуррентным формулам и не требуется хранения всех предыдущих результатов измерений.

1.7.2Последовательная идентификация многомерной системы

Рассмотрим линейную многомерную статическую систему с вектором

вектор базисных функций модели (т. е. известного вида функций всех своих аргументов).

Результаты измерений входного и выходного сигналов в серии из (i =1,2,...,N ) измерений и уравнение (1.72) позволяют записать исходную си-

Здесь вновь верхний индекс, взятый в скобки, – номер измерения, θɶN – оценка вектора коэффициентов модели θ, полученная в результате серии из N измерений, ω(i) – неотрицательные весовые коэффициенты, которые выбираются с целью повысить или понизить влияние отдельного опыта на итоговую оценку параметров либо просто принимаются равными единице.