6552

111

фициентов.

Теперь рассмотрим следующую задачу. По результатам измерений в дис-

Верхний индекс, взятый в скобки, как и ранее, используется для указания номера точки на оси времени. Одновременно его можно рассматривать и как

номер измерения. Момент времени T(0) t(0),T здесь будем рассматривать как момент начала измерений, и этот момент времени отличается от момента начала функционирования системы t(0) , когда задаются начальные условия.

3.4.2 Описание алгоритма идентификации параметров и начального состояния нелинейных систем методом квазилинеаризации

Рассмотрим последовательность шагов идентификации параметров и начального состояния с системы с математической моделью вида (3.75), (3.76) методом квазилинеаризации.

Первый этап. Будем считать, что на начальном этапе задана некоторая исходная оценка параметров модели и вектора переменных состояния, т. е. задано нулевое приближение для вектора z0 (t) = zIn (t), которые обозначим соответственно:

114

Вектор zs+1 (t(0) ) определяет начальное состояние системы (начальные

условия) и является неизвестной величиной в рассматриваемой задаче.

Как известно, матрица Коши для задачи (3.82) удовлетворяет уравнению

Таким образом, на этом этапе задача идентификации свелась к поиску решения уравнений (3.82) в виде (3.84). Для этого требуется найти матрицу

Коши Фs (t,t(0) ) и частное решение Ps (t). В принципе эти решения могут быть

найдены аналитическими методами. Однако это не слишком удобно, так как процедуру поиска аналитического решения придется повторять на каждом шаге итерационного процесса, причем вид решения может существенно меняться. Уравнения (3.85), (3.87) при заданных начальных условиях (3.86), (3.88) замечательны, в том числе тем, что на каждом шаге итерационного процесса при известном начальном приближении zs (t) они могут быть относительно просто решены известными численными методами (см., например, [12, 15, 17]), в частности по схеме Эйлера с пересчетом. Решая эти задачи для дискретного набора равноотстоящих узлов на оси времени, на основании формулы (3.84) получим

следующие формулы для расчета уточненной оценки вектора zs+1 (t( j) ):

При численном решении уравнений (3.85), (3.87) необходимо помнить, что измерения, как правило, проводятся позднее чем начинается функционирование системы, t(0) ≤ T(0) . Поэтому потребуется выполнить расчет матриц

115

и вектора Ps (t( j) ) во всех узлах интервала времени t(0),T(0) ,

предшествовавших моменту T(0) начала измерений. Шаг ∆t по времени при численном решении уравнений (3.85), (3.87) определяется условиями достижения заданной точности расчета, а значит, в общем случае не будет совпадать с

шагом ∆T = (T −T(0) )/ (N −1) выполнения измерений. Поэтому может потребо-

ваться дополнительная процедура совмещения узлов на временной оси, в которых выполнялись измерения и узлов, для которых получается решение уравнений (3.85), (3.87). При записи формулы (3.89) принято, что эта чисто техническая проблема каким-то образом решена, так что точки на оси времени, для которых получено решение уравнений задачи, совпадают с точками, для которых выполнялись измерения входного и выходного сигналов.

Таким образом, основным результатом этого этапа является запись решения для уравнения состояния (3.79) в виде (3.89). При этом матрица Коши

и вектор Ps (t( j) ) в этой формуле известны, а неизвестной величиной остается уточненная оценка вектора zs+1 (t(0) ) – начального состояния и параметров системы. Напомним, что матрица Фs (t( j),t(0) ) и вектор Ps (t( j) ) по

предположению найдены в те же моменты времени, когда выполнялись измерения выходного сигнала.

строк с номерами i = n +1, n + 2,...,n + m равны нулю (см. формулу (3.80)). Анализируя соответствующие уравнения в системах (3.85), (3.87), нетрудно уви-

Это означает, что соответствующие строки матрицы Коши Фs (t( j),t(0) ) и

элементы вектора Ps (t( j) ) на данном этапе можно не рассматривать и упростить запись формул, необходимых для дальнейшего анализа задачи.

Введем матрицу Gs (t( j),t(0) ) следующим образом:

118

Эту систему уравнений для получения наилучшей линейной несмещенной оценки параметров и начального состояния ξs+1 изучаемого объекта запишем в виде:

Система уравнений (3.100) теперь может быть решена одним из известных методов решения такого рода уравнений, в частности методом последовательного исключения Гаусса, методом последовательной регрессии или какимлибо другим.

Найденное каким-либо методом решение этой системы запишем в виде: ξs+1 = M −1Y . (3.102)

Полученная оценка является осредненной оценкой по результатам измерений, содержащих по крайней мере случайные погрешности.

Шестой этап. Заключительным этапом решения задачи идентификации является проверка выполнения условия достижения наперед заданной точности решения. Оценивая разность между двумя последовательными приближениями ξs и ξs+1 , необходимо принять решение либо о продолжении итерационной процедуры уточнения, либо об её прекращении. В качестве критерия для прекращения итераций можно использовать, например, условие:

где ε – наперед заданный параметр схемы, характеризующий точность решения.

Чтобы избежать «зацикливания», кроме критерия (3.103) принято использовать и некоторое разумное ограничение количества итераций.

120

екта, а также алгебраическое уравнение выходов (3.107). Пусть известно, что момент начала функционирования системы:

t(0) =1. (3.109) Пусть измерения входного и выходного сигналов проводились в точках:

Требуется по результатам измерений входного u(t( j) ) и выходного сигналов y(t( j) )= {y1 (t( j) ), y2 (t( j) )}, приведенным в таблице 3.4, найти параметры модели θ = {θ1,θ2 ,θ3}, начальные значения вектора переменных состояния x(t(0) )= {x1 (t(0) ), x2 (t(0) )}, а также значения переменных состояния для момен-

тов времени измерений.

В данном случае известно точное решение задачи, поэтому кроме входного и выходного сигналов таблице 3.4 приведены и соответствующие решению (3.108) значения переменных состояния, которые потребуются в дальнейшем для оценки точности идентификации.

Таблица 3.4 – Значения компонент вектора переменных состояния и выходного сигнала