Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6552

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Умножая обе части этого равенства слева на матрицу PN , получим выражение:

E = PN (PN−1 )					−1					(1.90)
						+ PN H			(N ) H(N ) ,
где E – единичная матрица.
Это равенство умножим справа на матрицу PN−1 :
PN−1		= PN + PN H (N ) H (N )PN−1 .								(1.91)
Умножим теперь это выражение справа на вектор H(N ) :
PN−1H (N ) = PN H (N ) + PN H (N ) H (N )PN−1H (N ) =										(1.92)
N (N )	(	(N )		N−1		(N )	)
		+ H	P			H		.
= P H 1

Теперь это последнее выражение умножим на величину:

(1+ H(N )PN−1H(N ) )−1 H(N )PN−1.

В результате получим следующее выражение:

(N ) )

−1

PN−1H(N ) (1

+ H(N )PN

−1H

H(N )PN−1 = PN H(N ) H(N )PN−1.

(1.93)

Подстановка в эту формулу выражения (1.91) для PN H(N ) H(N )PN−1 да-

ет:

−1

PN−1H(N )

(1+ H(N )PN−1H(N ) )

H(N )PN−1 = PN−1 − PN .

(1.94)

Таким образом, для вычисления матриц PN

также имеет место рекур-

рентная формула:

−1

PN = PN−1 − PN−1H

(N )

(1+ H

(N )PN−1H(N ) )

H(N )PN−1.

(1.95)

Очень важно, что при вычислении матриц PN

по этой формуле не требу-

)

−1

ется выполнять обращения матриц (т. к. величина

(1+ H

(N )PN−1H(N )

– ска-

ляр).

Для замыкания процедуры последовательной идентификации осталось определить матрицу P0 и начальную оценку параметров ɶθ0 для начала процесса. В качестве начальной оценки параметров ɶθ0 принято, за неимением лучше-

го, принимать нулевую оценку ɶθ0 =0. Оценка матрицы P0 может быть произвольной [2], но для улучшения сходимости принято выбирать в качестве P0 матрицу:

	42
P0 =	1 E, ε →0,	(P0 )−1 →0.	(1.96)
	ε

·····························································

Таким образом, для вычисления на некотором шаге с номером

r =1,2,...,N процесса уточнения коэффициентов											θɶr модели (1.72)
имеют место рекуррентные формулы:
θɶr = θɶr−1 + Prω(r) f (u(r) ) (y(r) − (f (u(r) ),θɶr−1 )),
									(r) )	−1
Pr = Pr−1 − Pr−1H(r) (1+ H								(r)Pr−1H	(r) )		H (r)Pr−1,
											(1.97)
											(1.97)
H(r) =				ω(r) f (u(r) ), r =1,2,...,N,
	0	1			ɶ	0
P		= ε	E, ε → 0, θ				= 0.
Значение ε			выбирается обычно в интервале 10−7 ≤ ε ≤10 . Вы-

числения показывают, что выбор ε , за исключением оценок на начальных этапах итерационного процесса, слабо влияет на конечные оценки коэффициентов модели.

·····························································

··························· Пример ························

По результатам предварительного изучения объекта с двумя входами u = {u1,u2} и одним выходным сигналом y экспериментатор принял предполо-

жение, что закон функционирования этого объекта можно описать уравнением f1 (u)θ1 + f2 (u)θ2 = y,

сбазисными функциями f1 (u) = u1, f2 (u) = (u2 )2 .

Врезультате трех измерений входного и выходного сигналов были получены следующие данные:

u(1) = {1.0,1.0}, u(2) = {1.0,−1.0}, u(3) = {−1.0,2.0}, y(1) = 2.0, y(2) =1.5, y(3) = 2.5.

Решение методом максимального правдоподобия. Сначала решим задачу методом максимального правдоподобия, полагая ω(i) =1, i =1,2,3. Исходная система уравнений имеет в этом случае вид:

f1 (u(1) )θ1

+ f2 (u(1) )θ2

= y(1),

1.0θ

+1.0θ

= 2.0,

) )θ1

) )θ2

+1.0θ2

=1.5,

(u(

+ f2 (u

(

= y(

)

, 1.0θ1

(3)

)θ1

(3)

)θ2

= y

(3)

−1.0θ1 + 4.0θ2 = 2.5.

+ f2 (u

Для этого вычисляем информационную матрицу нормальной системы:

N=3
M = (P3)−1 = ∑ f (u(i) ) f (u(i) ) (P3 )−1 =
i=1				kj
i=1		3	−2
2		3	−2
= ∑ fk (u(i) ) fj (u(i) )	(P3)−1 =	−2	18	.
i=1		−2	18

Вектор правых частей имеет вид:

3		)		={1,13.5}.
Yj = ∑y(i) fj (u	(i)	)	Y	={1,13.5}.
i=1
Нормальная система уравнений имеет вид:
(P3 )	−1
(P3 )		θ = Y .

Матрица, обратная к информационной матрице, равна:

	3		1	18	2
	3	=	1
P					.
P					.
			50
			50	2	3

Отсюда получаем оценку параметров модели по трем измерениям:

			1	18		2	1		0.36	0.04	1		0.90
θɶ	= P3Y	=			2	3		=	0.04	0.06		=	0.85	.
			50
							13.5				13.5

Решение методом последовательной идентификации. Теперь решим эту задачу методом последовательной идентификации в соответствии с расчетными формулами (1.97).

Определим векторы:

H(N ) = ω(N ) f (u(N ) ) H(1) ={1,1},H(2) ={1,1},H(3) ={−1,4}.

	−5		0		1	1	0
ɶ0	−5		0		1
Положим θ	=0, ε =10	, P		=			.
Положим θ	=0, ε =10	, P		=	ε		.
					ε	0	1

Находим матрицу P1 :

P1 = P0 − P0H (1) (1+ H(1)P0H (1) )−1 H (1)P0

p	p	1		1	1		0		1	1		0 1			+{1,1}1	1		0 1 −1		{1,1}1	1		0
11	12		=			0	1	−			0	1		1			0	1				0	1
p21	p22			ε					ε				1		ε				1	ε

−1

= 1

− 1

1+{1,1}1

p21

p22

p11

p12

1 1

2 −1 1

−

p22

p21

ε ε

ε +1

−

p11

1 1

p12

−

ε + 2

ε +1

+ 2

p21

p22

1 1

−

+ 2

ε + 2

Находим первую уточненную оценку коэффициентов:

(1) (y(1) − (

(1) (y(1) )

θɶ1 =

θɶ0 + P1ω(1) f

f (1)

,θɶ0 ))= 0

+ P1 f

ε +1

−

1.0

ε +2

ɶ1

2 =

2 ≈

ε +1

1.0

−

ε +2

Чтобы найти вторую оценку коэффициентов находим матрицу P2 :

(2) )

−1

(2)P1

= P1

− P1H(2) (1+ H

(2)P1H

ε +1

−

ε +1

−

p11

p12

ε + 2

+ 2

ε + 2

ε +1

−

ε +1

p21

p22

−

+ 2

ε + 2

ε +1

−

−1

ε +1

−

ε + 2

{1,1}

ε + 2

1+{1,1}

ε +1

−

+ 2

ε + 2

ε +1

−

p11

2ε 1

−1 1

p12

ε + 2

−

ε + 2

+ 2 ε

p21

p22

−

ε + 2

ε +1

−

p11

ε +

p12

ε + 2

+ 2

−

ε +

ε + 2

ε +1

p21

p22

−

+ 2

ε + 2

p12 2

ε +1

−

p11

ε + 2

ε +

2 ε +

ε +1

−

p21

p22

−

ε + 4

ε + 2

2 ε +

ε + 2

ε +

p11

ε +1

−1

p12

ε + 4

−

p22

ε ε +

p21

−1

ε +1

ε + 4

p11

p12

1 1

ε2 + 4ε + 4

−4 − 2ε

ε ε + 2 ε +

−4 − 2ε

p21

p22

4ε + 4

ε + 2

−2

ε ε + 4

ε + 2

Теперь находим вторую оценку коэффициентов:

θɶ2 = θɶ1 + P2ω(2) f (2) (y(2) − (f (2),θɶ1 ))

ɶ2

1.0

ε +2

−2

(

−2.0

)

1.5

1.0

ε ε +4 −2

ε +2 1

1.0

1 1

1.0

1 1

0.875

−

≈

−

1.0

2 ε ε +4 ε

1.0

8 1

0.875

Для

следующего

шага

уточнения

оценки

параметров

находим

матрицу P3 :

)

−1

(3)P2

P3 = P2 − P2H(3) (1+ H(3)P2H(3)

p11

p12 3

1 1

ε + 2

−2

−

1 1

ε + 2

−2 −1

−2

ε + 2

ε ε + 4

ε ε

p21

p22

ε + 2

+ 4

1 1

ε + 2

−2

−1 −1

1 1

ε + 2

−2

+{−1,4}

−2 ε +

{−1,4}

−2

ε +

ε ε

+ 4

ε ε

p11

p12 3

1 1

ε + 2

−2

1 1

−ε −10

−2

−

ε ε + 4

p21

p22

ε + 2

ε ε + 4

4ε +10

+{−1,4}

1 1

−ε −10 −1

−ε −10

ε ε +

ε ε

+ 4

4ε +10

p11

p12 3

1 1

ε + 2

−2

−ε −10

−

4ε +10

ε ε +

p21

p22

−2

ε + 2

117ε

+ 50

−1

−ε −10

4ε +10

ε ε + 4

(ε +10)2

(ε +10)(4ε +10)

p11

ε + 2

−2

−

p12

ε2 + 21ε + 50

−2 ε + 2

−

ε ε + 4

+10)

(4ε +

10)

− (ε +10)(4ε

+ 21ε + 50

21ε + 50

+ 22ε + 72)

ε(2ε + 8)

ε(ε

p11

p12

ε2 + 21ε + 50

ε(

+12)

ε ε +

ε(2ε + 8)

+ 7ε

p21

p22

+ 21ε + 50

+ 21ε

+ 50

ε2 + 22ε + 72

2ε + 8

ε + 21ε + 50

ε + 21ε + 50 .

p21

p22

ε + 4

2ε + 8

ε2 + 7ε +

+ 21ε

+ 50

+ 21ε + 50

Устремляя к нулю в этом выражении параметр ε → 0, получаем матрицу P3 , в точности совпадающую с той, что мы получили методом максимального правдоподобия для случая трех измерений в этом примере:

P3	=	1	18		2
				2	3	.
		50

Теперь находим третью оценку коэффициентов:

θɶ3 = θɶ2 + P3ω(3) f (3) (y(3) − (f (3),θɶ2 ))

ɶ3	0.875		1	18	2 −1		0.875		1	−1	0.90


θ	=	+				(2.5	−2.625)=	−			=	.

			50						40
	0.875			2	3	4	0.875			1	0.85

Как видим, третья итерация дает оценку параметров, которая совпадает с оценкой, полученной методом максимального правдоподобия.

·······································································

Этот пример показывает, в частности, что метод последовательной идентификации по точности не уступает методу максимального правдоподобия. При этом выбор параметра ε заметно влияет на результат только на первых шагах итерационного процесса оценки параметров, а с ростом количества итераций его влияние быстро убывает.

Следует отметить, что определенные трудности идентификации систем с нелинейными базисными функциями связаны с плохой обусловленностью информационных матриц. Кроме того, количество базисных функций зачастую больше количества входов, поэтому возрастает размерность информационной матрицы по сравнению со случаем линейных базисных функций.

1.8 Линеаризация моделей, нелинейных относительно оцениваемых параметров

Нередко задача идентификации сводится к определению параметров (коэффициентов) априорно заданной нелинейной модели процесса, предложенной на основании теоретических соображений. До сих пор мы рассматривали задачи идентификации моделей, линейных относительно неизвестных параметров (коэффициентов), но с произвольными базисными функциями. В этой связи целесообразно уточнить, что под нелинейной моделью здесь будем подразумевать математическую модель, в которой выходной сигнал нелинейным образом зависит от параметров. В таких случаях для идентификации параметров может оказаться полезной линеаризация модели путем разложения описывающей процесс функции в ряд Тейлора. Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие применение этого подхода в окрестности известного состояния.

··························· Пример ························

Пусть на основе теоретических соображений предложена нелинейная от-

носительно оцениваемых параметров модель процесса:	(1.98)
y = a0 + a1 exp(a2u).	(1.98)
ɶ
По результатам измерений входного u(i) , (i =1,...,N )	и выходного сигна-

лов yɶ(i) в серии опытов запишем исходную систему уравнений для оценки параметров этой модели:

yɶ(i) = a0 + a1 exp(a2u(i) ).

(1.99)

Модель нелинейная относительно неизвестных параметров a0, a1, a2 , поэтому для их оценки рассмотренными ранее методами требуется линеаризация модели. Предположим, что приращения ∆u переменной u в окрестности некоторого исходного состояния u(i) малы. Выбирая значения контролируемых переменных на этапе планирования эксперимента, можно добиться малости этих

приращений, однако надо помнить, что линеаризация сужает диапазон применимости результатов идентификации.

Линеаризуя уравнения (1.99) путем разложения в ряд Тейлора в окрестности точек u(i) , приходим к системе:

∆yɶ(i) = a1a2 exp(a2u(i) )∆u(i),

(1.100)

ɶ(i)

ɶ(i+1)

(i)

(i+1)

(i)

, (i =1,...,N

−1).

∆u

= u

− u

∆y

= y

− y

Логарифмируя это выражение, приходим к уравнению:

∆y(i)

= ln(a a

)+ a u(

) .

(1.101)

(i)

∆u

Введем следующие обозначения:

∆y

(i)

= ln(a1a2 ). θ2 = a2, f1 (u(i) )=1, f21 (u(i) )= u(i) .

= y(i), θ1

(1.102)

∆u

(i)

В результате приходим к следующей системе линейных относительно не-

известных параметров θ1, θ2 уравнений:
θ1 f1 (u(i) )+ θ2 f2 (u(i) )= y(i), (i =1,...,N −1).	(1.103)

Теперь параметры θ1, θ2 модели (1.103) могут быть найдены методом максимального правдоподобия или методом последовательной идентификации.

После этого не составит труда найти коэффициенты a1, a2 :
aɶ2 = θɶ	2 , aɶ1 = exp(θɶ1 ) θɶ	2 .	(1.104)

После этого из уравнений (1.99) легко находится оценка коэффициента

aɶ0 .

·······································································

Контрольные вопросы по главе 1

·····························································

1.Сформулируйте основную гипотезу теории измерений.

2.Что называется вектором результатов измерений?

3.Дайте определение матрицы плана эксперимента.

4.Дайте определение расширенной матрицы плана эксперимента.

5.Какая система уравнений называется исходной системой для оценки параметров?

6.Что называется наилучшей линейной несмещенной оценкой?

7.Разъясните основные положения метода максимального правдоподобия.

8.Сформулируйте теорему Гаусса – Маркова и ее обобщения.

9.Запишите выражение информационной матрицы для модели, линейной относительно неизвестных коэффициентов (случай с равными дисперсиями), а также формулу несмещенной оценки для дисперсии.

10.Дайте определение дискретного плана эксперимента.

11.Какой план эксперимента называется Ф-оптимальным?

12.Какой план эксперимента называется D-оптимальным?

13.Какой план эксперимента называется А-оптимальным?

14.Как вводятся кодированные переменные?

15.Каков интервал изменения кодированных переменных?

16.Запишите уравнение модели полнофакторного эксперимента типа 23.

17.Дайте определение ортогонального плана эксперимента.

18.Запишите матрицу плана полнофакторного эксперимента типа 23.

19.Запишите информационную матрицу для полнофакторного эксперимента типа 23.

20.Получите формулы для расчета коэффициентов модели полнофакторного эксперимента типа 23, исходя из общих формул расчета коэффициентов линейной модели на основе метода максимального правдоподобия.

21.Докажите, что план полнофакторного эксперимента типа 23 является ортогональным.

22.Укажите интервал изменения коэффициента множественной корреляции.

23.Докажите, что информационная матрица симметрична относительно главной диагонали.

24.Сравните достоинства и недостатки метода максимального правдоподобия и метода последовательной идентификации.

25.Как выбирается матрица P0 для начала процедуры последовательной идентификации?

26.Назовите основные факторы, которые определяют свойства информационной матрицы.

27.Как связаны между собой количество неизвестных параметров модели и количество опытных точек, необходимых для их определения?

28.С какой целью в методе последовательной идентификации используются весовые коэффициенты?

29.Запишите формулу разложения в ряд Тейлора функции одной переменной.

30.Запишите формулу разложения в ряд Тейлора функции многих переменных.

31.Как осуществляется линеаризация при идентификации систем, нелинейных относительно неизвестных параметров?

32.Приведите пример линеаризации системы, нелинейной относительно неизвестных параметров.

33.Опишите процесс последовательной идентификации системы с одним входом и одним выходом.

34.Опишите процесс последовательной идентификации многомерной системы с одним выходом и несколькими входами.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.20211.26 Mб26524.pdf
#
05.02.20231.27 Mб26529.pdf
#
13.02.20211.86 Mб46541.pdf
#
13.02.2021928.66 Кб46546.pdf
#
05.02.2023520.58 Кб26551.pdf
#
13.02.20211.3 Mб86552.pdf
#
05.02.2023291.71 Кб06557.pdf
#
05.02.2023194.43 Кб06558.pdf
#
13.02.20214.05 Mб56560.pdf
#
13.02.2021636.32 Кб06573.pdf
#
13.02.2021637.06 Кб06574.pdf