Итак, получено уравнение гармонического осцилля-

dt

решение которого можно записать в виде:

un (t) un0 ei t

где

Таким образом, каждому волновому числу k соответ-

ствует своя частота колебаний ω(k), которая опре-

деляется формулой (28.25).

Синус малых углов примерно равен самому углу: sinαα (если α << 1), поэтому частота длинновол- новых колебаний решетки, соответствующих ма- лым значениям волнового числа k, линейно зави- сит от волнового числа:

Такие колебания подобны звуковым волнам, распро- страняющимся с постоянной фазовой скоростью

поэтому они называются акустическими, или звуко- выми волнами.

При уменьшении длины волны волновое число уве- личивается, и если величину ka/2 нельзя считать малой, то линейная зависимость частоты от вол- нового числа нарушается, фазовая скорость пере- стает быть константой и становится функцией, за- висящей от волнового числа (уменьшается с рос- том k). Это явление называется дисперсией скоро-

сти звука, а формула (28.25) - дисперсионной

формулой.

Найдем групповую скорость звуковых волн. По опре-

делению, групповая скорость ugr равна производ- ной dω/dk. Дифференцируя формулу (28.25), на-

Как видно из формулы (28.27), групповая скорость с ростом k уменьшается, и при k = k0 = ±π/a обраща- ется в нуль. Эти колебания с минимально возмож- ной длиной волны λ0 = 2a и максимальной частотой

0 2 f / M соответствуют стоячим волнам, которые не переносят энергию вдоль решетки. Колебания решетки с еще большими значениями волновых чисел, такими, что λ < λ0 = 2a, не имеют физическо- го смысла, т.к. не соответствуют смещениям реа-

льных частиц решетки. Максимальная частота ко-

лебаний при характерных скоростях звука с ~ 103м/с и межатомных расстояниях а ~ 10-10 м в твердом те- ле составляет ω0 ~ с/а ~ 1013 1/с, что на несколько порядков превышает частоту ультразвука 109 1/с.

Мы рассмотрели простейший вид колебаний -

продольные линейные колебания вдоль це- почки атомов одинаковой массы M, располо- женных на расстоянии a друг от друга.

В трехмерной решетке, помимо рассмотрен-

ных продольных колебаний (смещения un па- раллельны волновому вектору k), появляют-

ся еще поперечные акустические колебания,

соответствующие смещениям частиц в пло-

скости, перпендикулярной вектору k.

ФОНОНЫ

Итак, связанные колебания атомов в решетке харак-

теризуются частотой ωj(k) для каждого вида коле- баний (продольных, поперечных). Частоты этих ко-

лебаний зависят от волнового числа, и их кванто-

вание, в соответствии с основной идеей квантовой теории поля, позволяет сопоставить эти колебания с отдельными квантами этого поля, получившими название фононов.

Для этого надо полученные выше результаты пере- вести на язык квантовой физики, используя реше- ние уравнения Шредингера для гармонического осциллятора.

Напомним, что уравнение Шредингера для гармони-

ческого осциллятора имеет вид:

В этих обозначениях уравнение Шредингера примет

Введем операторы рождения и уничтожения частиц (фононов):

Легко убедиться в том, что оператор Гамильтона для осциллятора можно выразить через операторы

Но "произведение" операторов an an дает, как пока- зано выше, оператор числа частиц. Отсюда полу-

чаем уже известную нам формулу для энергии ос-

Итак, колебания атомов решетки можно представить как излучение фононов, обладающих энергией j (k) и (квази)импульсом k . Индекс j введен для того,

чтобы различать виды колебаний (продольные,

поперечные). Колебательное состояние всей ре- шетки задается числом фононов nj(k) в состояниях

с энергией j (k) . В гармоническом приближении

разные ветви колебаний решетки не взаимодейст-

вуют друг с другом, поэтому и соответствующие

им квазичастицы - фононы - представляют собой газ невзаимодействующих бозе-частиц.

Вквантовой статистике формула, определяющая среднее количество частиц с энергией (распреде-

ление Бозе-Эйнштейна), имеет вид:

nj (k) e j k1/ kT 1

где k - постоянная Больцмана (не путать с волновым числом, которое в этой формуле обозначено как волновой вектор k), T - абсолютная температура.

Поэтому среднюю энергию колебаний решетки при

температуре T можно представить в виде суммы:

E j (k)nj (k) j (k)

e j k / kT 1

k , j k , j