Из операторов an и an можно построить играющий важную роль оператор числа частиц. Таким опера- тором является "произведение" an an (т.е. последо-

вательное действие сначала an , затем an ). Дей-

Эти представления с успехом использованы в физи- ке твердого тела. В этой трактовке твердое тело рассматривается как совокупность квантованных полей - частиц различных типов (они получили название квазичастиц), взаимодействующих друг

с другом. Состояние всей системы определяется

заданием этих квазичастиц, а взаимодействие между ними - операторами рождения и уничтоже-

ния.

Поля, соответствующие квазичастицам в кристалли- ческой решетке, должны подчиняться условиям трансляционной симметрии, поэтому квазичасти-

цы в твердом теле - это кванты полей, характери-

зуемые энергией E(k), отвечающей волновому век-

тору k. Очень важным является вопрос о времени

жизни τ(k) квазичастиц. Это время определяется соотношением неопределенностей

(k) / E(k) / (k)

где Γ(k) - неопределенность энергии квазичастицы.

Если неопределенность энергии много меньше са-

мой энергии:

(k) / (k) E(k)

то время жизни достаточно велико, и можно гово-

рить о квазичастице с определенной энергией E и

определенным квазиимпульсом k. Если же Γ(k) того же порядка, что и E(k), то это означает, что квазичастица настолько быстро распадается на другие частицы, что нет смысла говорить о ней как

о независимом, физически наблюдаемом объекте.

(В физике элементарных частиц такие частицы называются резонансами). Поэтому время жизни,

по существу, и определяет, насколько оправдано

описание твердого тела как набора квазичастиц.

Вероятность распада квазичастицы зависит от числа других квазичастиц, с которыми данная частица взаимодействует, а количество квазичастиц зави-

сит от температуры: чем температура выше, тем

квазичастиц больше. Поэтому для твердого тела

характерной является зависимость времени жизни

квазичастиц от температуры. В области низких температур число квазичастиц мало, они слабо

взаимодействуют друг с другом, и времена их жиз- ни оказываются достаточно большими. В этом слу- чае твердое тело удается описать как газ слабо- взаимодействующих квазичастиц, полная энергия

которого складывается из энергий отдельных ква-

k ,

где α - тип квазичастиц, число которых равно nα(k).

Сростом температуры возрастает число квазичас- тиц с большой энергией, их взаимодействие стано- вится более интенсивным, время жизни уменьша- ется, и при высоких температурах квазичастичное описание твердого тела становится непримени- мым.

Так же, как и в физике элементарных частиц, квази-

частицы делятся на бозоны (квазичастицы с це-

лым спином, они подчиняются статистике Бозе- Эйнштейна) и фермионы (квазичастицы с полуце- лым спином, которые подчиняются статистике Ферми-Дирака). Далее мы подробнее рассмотрим

фононы, и кратко некоторые другие типы квазичас-

тиц .

Колебания решетки

Впредыдущих разделах мы рассматривали движе-

ние электронов в периодическом поле, которое создается атомами (ионами), находящимися в уз- лах кристаллической решетки. При этом мы счита- ли эти атомы (или ионы), составляющие решетку,

неподвижными. Такая постановка задачи является

идеализацией, поскольку атомы (ионы) решетки на самом деле не являются неподвижными, а совер-

шают колебания вблизи своего положения равно-

весия. При рассмотрении некоторых свойств твер- дых тел, таких как теплоемкость, электрическое

сопротивление и др., эти колебания оказываются весьма существенными.

Рассмотрим движение решетки более подробно. Бу-

дем считать, что атомы совершают гармонические

колебания относительно своих положений равно- весия в узлах решетки. Детальное описание дви-

жения атомов весьма затруднительно, т.к. требует

знания особенностей структуры данного кристал- ла. Но колебания с малой частотой (длинноволно-

вые колебания) можно описать сравнительно про-

сто, если использовать следующее предположе- ние: длинноволновые колебания - это звуковые ко-

лебания, которые представляют собой коллектив-

ные движения атомов твердого тела. Другими сло- вами, будем рассматривать эти движения как вол- ны деформации (звуковые волны), распространяю- щиеся в твердом теле, не интересуясь деталями перемещения каждого атома в отдельности.

Рассмотрим колебания одномерной цепочки

из N атомов одинаковой массы M, располо-

женных на расстоянии a друг от друга и свя- занных квазиупругими силами с силовой по- стоянной ("коэффициентом упругости") f.

Обозначим через un смещение атома в узле решетки с номером n. Тогда уравнение движение этого ато- ма можно записать в виде:

где справа от знака равенства записана разность сил, действующих со стороны правого (n+1) и ле- вого (n-1) соседей. Поскольку n может принимать

все значения от 1 до N, то получается система из N

дифференциальных уравнений, решить которую при больших значениях N очень трудно. Однако учет свойств трансляционной симметрии решетки облегчает задачу.

Из свойств трансляционной симметрии следует, что колебания всех атомов должны быть подобны друг другу, и поэтому смещение атома в некотором уз- ле n+m может отличаться от смещения в узле n

где k - волновое число, соответствующее колебани- ям с длиной волны λ = 2π/k. Подставляем (28.24) в уравнение (28.23):

M ddt2u2n f un un e ika f un eika un fun 1 e ika fun eika 1

fun 1 cos ka isin ka fun cos ka isin ka 1 2 f 1 cos ka un ,

иполучаем стандартное уравнение для гармоничес-

кого осциллятора.