Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц

28 (2). Элементы квантовой теории твердого тела. Энергетические зоны в

твердых телах. Фононы и другие квазичастицы.

Силы Ван-дер-Ваальса

В1873 году голландский физик Ван-дер-Ваальс (Van der Waals) вывел уравнение состояния реального

газа, и установил непрерывность газообразного и жидкого состояний. За эти работы в 1910 году Ван- дер-Ваальс получил Нобелевскую премию, а его уравнение, вошло во все учебники физики.

Уравнение Ван-дер-Ваальса учитывает объем моле-

кул и силы взаимодействия между ними - молеку- лярные силы, получившие название сил Ван-дер-

Ваальса. Было предпринято много безуспешных

попыток объяснить природу этих сил с точки зре- ния классической физики. В настоящее время мы знаем, что правильное объяснение молекулярных сил может дать только квантовая теория.

Рассмотрим два атома (или две молекулы), у кото-

рых в состоянии покоя все заряды распределены

сферически-симметрично, и поэтому атомы между собой не взаимодействуют. Но если сместить за-

ряды из их положения равновесия, то атом приоб-

ретет дипольный момент, вокруг него возникнет электрическое поле, которое индуцирует диполь-

ный момент в другом атоме. Поэтому, если заряды

в атомах постоянно колеблются, причем эти коле- бания не исчезают ни при каких условиях, то ато-

мы имеют меняющиеся со временем дипольные

моменты, и, значит, должны взаимодействовать между собой. Докажем, что эти быстро меняющие- ся дипольные моменты находятся друг относите- льно друга в такой фазе, что в результате возника- ет притяжение.

Найдем энергию взаимодействия между двумя дипо- лями, изображенными на рисунке. Эта энергия обусловлена притяжением разноименных зарядов и отталкиванием одноименных. По закону Кулона:

Т.к. r >> x1, и r >> x2, то дроби, стоящие в скобках можно разложить в ряды по общей формуле:

и в каждом из этих разложений ограничиться первы- ми тремя членами. Тогда

Это и есть потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием диполей.

Если атомы одинаковы, то при отсутствии взаимо- действия между ними (когда атомы находятся да- леко друг от друга) уравнение движения заряда в каждом из них имеет вид

где m - масса колеблющегося заряда (например,

электрона), f - квазиупругая сила, под действием

которой происходят колебания; m и f одинаковы у обоих атомов.

тогда уравнения движения зарядов принимают вид

уравнений гармонических колебаний:

т.е. частота колебаний в невзаимодействующих ато-

мах одинакова и равна 0.

Теперь учтем взаимодействие атомов. Смещение заряда dx1 в первом осцилляторе вызывает доба- вочную силу f12 во втором осцилляторе, и наоборот, смещение dx2 во втором осцилляторе вызывает добавочную силу f21 в первом.

Силы f12 и f21 найдем по формуле (28.2):

Внесем в уравнения движения (28.3) эти добавочные

тогда вместо уравнений (28.4) получаем:

Покажем, что оба связанных осциллятора могут со- вершать простые колебания с одной и той же об- щей частотой , т.е. будем искать решение систе- мы (28.6) в виде:

Подставим это в (28.6), и после сокращения на ei t получим:

Это два линейных однородных уравнения относи- тельно двух неизвестных A и B. Для того, чтобы та- кая система имела нетривиальное решение, надо,

чтобы ее определитель был равен нулю.

Таким образом, получаем два возможных значения