Эти частоты называются нормальными, или главны- ми; одна из них немного меньше, а другая немного больше, чем 0. Подставляя эти частоты в уравне-

ния (28.7), находим:

для = 1: A = B, для = 2: A = -B = Bei . (28.9)

Т.е. для того, чтобы совершать колебания с

частотой, 1 осцилляторы должны в начальный

момент вре-мени получить одинаковое смещение в одной и той же фазе (A = B, симметричные колебания), а чтобы колебаться с частотой 2, смещение в на-чальный момент времени должно быть также оди-наковым, но в противофазе (A = -B, антисимметри-чные колебания).

Если начальные условия будут отличаться от

(28.9), то колебания осцилляторов уже не будут простыми, и их можно представить как

суперпозицию колебаний с главными часто-

тами: x1 a cos 1t 1 bcos 2t 2 ,

x2 a cos 1t 1 bcos 2t 2 . (28.10)

Зададим следующие начальные условия:

пусть в момент времени t = 0 первый осцил- лятор имеет смещение x1 = A и скорость dx1/dt = 0, а второй покоится в положении равновесия, т.е. x2 = 0 и dx2/dt = 0.

Подставляя эти условия в (28.10), находим:

A a cos 1 bcos 2

0a 1 sin 1 b 2 sin 2

0a cos 1 bcos 2

0a 1 sin 1 b 2 sin 2

Второе и четвертое уравнения дают δ1 = δ2 =0. Под- ставляя это в первое и третье уравнения, получа-

ем: a = b = A/2. Таким образом, при заданных на-

чальных условиях колебания осцилляторов будут представлены формулами:

В каждой из формул (28.11) есть множитель, мед-

ленно меняющийся с частотой ( 2 - 1)/2, который можно считать модулированной амплитудой, и есть быстро меняющийся фазовый множитель,

имеющий частоту ( 2 + 1)/2. Кроме того, колеба- ния x1 и x2 смещены друг относительно друга по фазе на π/2. Наглядно эта картина "биений" пока-

зана на рисунке.

Теперь найдем полную энергию связанных ос- цилляторов. Потенциальная энергия

Сделаем замену переменных:

Подставляя все это в (28.12), получаем после прос- тых преобразований:

т.е. полная энергия двух связанных осцилляторов может быть представлена как полная энергия двух независимых осцилляторов, колеблющихся с нор- мальными (главными) частотами.

Теперь применим полученные результаты к системе из двух квантовых осцилляторов. Согласно полу- ченным ранее результатам, энергия осцилляторов имеет квантованные значения:

поэтому полная энергия системы равна:

Используя формулу бинома Ньютона:

Подставляя это в (28.13), находим:

E En1 En2

Втом случае, когда оба осциллятора находятся в ос- новном состоянии n1 = n2 = 0, получаем:

Нулевая энергия каждого осциллятора равна 0 / 2 , сумма нулевых энергий двух осцилляторов рав-на

. По0 формуле (28.15) мы видим, что полная

энергия системы двух связанных осцилляторов от-

личается от 0 на величину

где C - некоторая константа.

Знак "минус" указывает на то, что между ато-

мами действует сила притяжения. Это и

есть сила Ван-дер-Ваальса.

Подчеркнем еще раз, что появление сил мо- лекулярных взаимодействий в нормальном

состоянии объясняется существованием ну- левой энергии осцилляторов.