Квазичастицы в твердых телах

Нерелятивистская квантовая теория, основанная на

уравнении Шредингера, позволила успешно ре- шить многие задачи из физики микромира, но эта теория применима только для описания систем с неизменным числом частиц. В то же время перехо-

ды атома из одного состояния в другое сопровож-

даются испусканием или поглощением фотонов, и эти процессы уравнением Шредингера описать не-

возможно. Поэтому нерелятивистская квантовая

механика дает лишь приближенное описание ато- ма, справедливое в той мере в какой можно прене- бречь эффектами испускания и поглощения фото- нов.

Но рождаться и исчезать могут не только фотоны. Одно из самых удивительных и общих свойств ми- кромира - универсальная взаимная превращае- мость частиц. В процессе столкновений, а иногда и самопроизвольно, одни частицы исчезают, другие появляются. Например, электрон и позитрон, стол- кнувшись, аннигилируют (исчезают), а вместо них

появляются фотоны. Возможен и обратный про-

цесс: фотон с достаточно большой энергией, стол- кнувшись с какой-либо частицей, исчезает, а вмес-

то него появляются электрон и позитрон (процесс

рождения электронно-позитронных пар). При стол- кновении протонов друг с другом могут рождаться пи-мезоны, которые через некоторое время само- произвольно распадаются на мюон и нейтрино.

Таких процессов в настоящее время известно очень много, и квантовая теория поля была создана для того, чтобы описать эти взаимные превращения частиц, процессы их рождения и уничтожения.

Вквантовой теории поля каждая элементарная час-

тица является квантом некоторого поля, и наобо-

рот, каждому полю соответствует своя частица-

квант. Энергия и импульс каждого поля слагаются

из множества отдельных порций - квантов. Самый простой и лучше всего изученный пример: элект- ромагнитное поле и его квант - фотон. Квантами поля сильных взаимодействий являются глюоны.

Кванты поля слабых взаимодействий - бозоны W± и

Z0. Все эти частицы обнаружены эксперимен- тально, и их свойства хорошо изучены.

Сточки зрения математики, основной чертой кванто- вой теории поля является введение операторов, описывающих рождение и уничтожение частиц. Метод квантования с переменным числом частиц был предложен в 1927 г английским физиком П.Ди- раком (P.Dirac, нобелевская премия 1933г) и полу- чил развитие в работах российского (советского)

физика Владимира Александровича Фока.

Рассмотрим вид и действие этих операторов на про- стом примере системы, состоящей из одинаковых частиц, находящихся в одном и том же состоянии (например, это фотоны, имеющие одинаковую

энергию и поляризацию и двигающиеся в одном

направлении).

Вквантовой теории состояние системы частиц описывается волновой функцией.

Обозначим через ΨN волновую функцию системы из

2

N частиц. Квадрат модуля N , определяющий ве-

роятность данного состояния, очевидно, обраща- ется в единицу, если N достоверно известно. Это означает, что волновая функция с любым фикси- рованным числом N нормирована на единицу.

Обозначим оператор уничтожения частицы через a-, а оператор рождения частицы через a+. По опреде- лению, оператор уничтожения частицы переводит систему из состояния с N частицами в состояние с N-1 частицами:

a N N N 1 (28.17)

Аналогично оператор рождения частицы переводит систему из состояния с N частицами в состояние с N+1 частицами:

Множители и в формулах (28.17) и (28.18) введены

для выполнения условия нормировки N 2. В част-

ности, если N = 0, то a+Ψ0 = Ψ1, a-Ψ0 = 0, где Ψ0 - вол- новая функция, характеризующая вакуум. Равенст- во a-Ψ0 = 0 можно интерпретировать так: невозмож- но уничтожить частицу в состоянии, в котором час- тиц нет.

Таким образом, в случае, когда состояние сис-

темы определяется только числом частиц, получаем систему уравнений:

1 a 0

Покажем, что результат действия операторов a+ и a- зависит от их последовательности

Действительно:

т.е. операторы a+ и a- являются некоммутирую-

щими (непереставимыми).

Если необходимо учесть, что частицы могут нахо- диться в различных состояниях, то, записывая операторы рождения и уничтожения, надо допол- нительно указывать, к какому состоянию частицы эти операторы относятся. В квантовой теории сос- тояния задаются набором квантовых чисел, опре- деляющих энергию, спин и другие физические ве-

личины. Обозначим для краткости записи всю со-

вокупность квантовых чисел, характеризующих од- но состояние, индексом n, а другое состояние - ин-

дексом m. Числа частиц, находящихся в состоянии

с индексами­ n и m называются числами заполне- ния этих состояний. Соответствующие операторы рождения и уничтожения будем обозначать как an и

a.n

ет рождение частицы в состоянии m. Если m = n, то

где δnm - символ Кронекера.