1-1 Основы теории цепей / Лекция № 3-4

Метод контурных токов

Подставим в предыдущее уравнение Кирхгофа эти выражения токов:

(I11 - I22)r1 I11r2 -(I33 - I11)r3 (I11 - I44)r4 E11

После приведения подобных слагаемых

I11(r1 r2 r3 r4 ) - I22r1 - I33r3 - I44r4 E11

Введем следующие обозначения: сумму всех сопротивлений контура k обозначим через rkk; сопротивление ветви контура, общей для контуров п и k, обозначим через rkn или rnk, что одно и то же. Будем считать, что rnk равно сопротивлению ветви, общей для контуров п и к, взятому со знаком плюс, если контурные токи через это сопротивление протекают согласно, т. е. в одном направлении. В контуре, изображенном на рис., все смежные контурные токи протекают встречно, т. е. в противоположных направлениях, через ветвь, общую для этих контуров. В этом случае считаем

r12 = r21 =-r4, r13= r31= -r3, r14= r41= -r4

ХНУРЭ. Профессор кафедры ТКС Шостко И.С.

Метод контурных токов

При этом условии уравнения Кирхгофа для контурных токов приобретают вид, независимый от выбора направлений контурных токов. Уравнение для контура, названного первым,

I11r11 I22r12 I33r13 I44r14 E11

ХНУРЭ. Профессор кафедры ТКС Шостко И.С.

Метод контурных токов

Таким образом, контурные токи удовлетворяют уравнениям, составленным для любого из контуров по второму закону Кирхгофа. Они также удовлетворяют уравнению, составленному для любого узла согласно первому закону Кирхгофа.

Справедливость последнего утверждения очевидна, так как для каждого из узлов цепи протекающий через него контурный ток является одновременно и приходящим и вытекающим из этого узла током. Например, через узел р согласно принятым положительным направлениям контурных токов проходят токи I11 и I22 каждый из которых является одновременно и приходящим и вытекающим. Следовательно, алгебраическая сумма контурных токов, сходящихся в узле цепи, равна нулю.

Решения уравнений удобно записать с помощью определителей:

Напомним, что сопротивления типа rnk, представляющие собой сопротивления ветвей, общих для контуров п и k, положительны, если контурные токи Inn и Ikk протекают согласно через эти сопротивления. Если же все контурные токи выбраны одинаково, т. е. по движению или против движения часовой стрелки, а в качестве контуров выбраны ячейки, то все rnk — отрицательны.

ХНУРЭ. Профессор кафедры ТКС Шостко И.С.

Метод контурных токов

Таким образом, для расчета контурных токов в сложной цепи необязательно предварительное составление уравнений по второму закону Кирхгофа. Можно воспользоваться готовыми выражениями контурных токов.

Выбор контуров относительно произволен. Однако контуры должны быть независимы, поэтому при их выборе следует воспользоваться рекомендациями, данными для расчета сложных цепей с помощью уравнений Кирхгофа для токов ветвей. Токи в ветвях цепи находятся как алгебраические суммы смежных контурных токов. Если контур выбран так, что некоторая ветвь принадлежит только одному контуру, то реальный ток в этой ветви и контурный ток в контуре с этой ветвью есть одна и та же величина.

ХНУРЭ. Профессор кафедры ТКС Шостко И.С.

Порядок расчета

•1. Задаем токи ветвей схемы.

•2. Направляем контурные токи так, чтобы они хотя бы по одному разу проходили через каждую ветвь.

•3. Через источник тока должен проходить единственный контурный ток, который будет равен величине тока источника тока.

•4. Для каждого неизвестного контурного тока составляем уравнение по правилу:

•контурный ток умножается на алгебраическую сумму сопротивлений своего контура.

ХНУРЭ. Профессор кафедры ТКС Шостко И.С.