Вопрос 14.

Нормальное уравнение прямой: Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число  , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0

нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Определение и способ нахождения отклонения точки от прямой на плоскости:

Обозначим через D расстояние от точки М до прямой L. Отклонением точки М от прямой L называется число D, если М и начало координат О лежат по разные стороны от прямой L, и число –D, если М и О лежат по одну сторону от L.

Расстояние от точки до прямой:

Расстояние d от данной точки   до прямой l (под этим расстоянием понимается длина  перпендикуляра, опущенного из точки   на  прямую l ), заданной уравнением 

А х + B y + С = 0, определяется по формуле 

15

Условия параллельности, совпадения, перпендикулярности двух прямых:

Параллельности:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.   

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде Ax + By + C = 0, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

    

Перпендикулярности:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

   

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.     

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде Ax + By + C = 0, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Угол между прямыми:

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле: 

Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k₁x + b₁ и y₂ = k₂x + b₂, вычисляется по формуле: 

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями 

(x-x₁)/m₁ = (y-y₁)/n₁ и (x-x₂)/m₂ = (y-y₂)/n₂, вычисляется по формуле: 

Формулы определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.

Различные задачи на прямые на плоскости. Биссектрисы углов при пересечении прямых. Пересекает ли отрезок заданную прямую? Различные задачи на прямые и плоскости. Различные виды уравнения прямой на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, общее уравнение, каноническое и параметрические уравнения. Геометрический смысл коэффициентов, входящих в уравнение каждого типа. Направляющий вектор и вектор нормали. Взаимное расположение точки и прямой на плоскости. Угол между прямыми. Взаимное расположение пары прямых. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. 

Определить, пересекает ли отрезок прямую если а прямая задана уравнением

Решение. Спросить, пересекает ли отрезок прямую – это всё равно, что спросить, точки и лежат по одну иди по разные стороны от прямой Вычислим отклонения:

ч

Так как отклонения имеют одинаковые знаки, то точки и лежат по одну сторону от прямой а значит, отрезок не пересекает прямую

 Уравнения биссектрис углов между прямыми (причем С строго отрицательно, нужно домножать на -1, если С положительно)

Ax + By + C = 0 и A₁x + B₁y + C₁ = 0: