30. Уравнение кривой второго порядка. Определение центральной кривой. Необходимое и достаточное условие того, что кривая является центральной. Инварианты.

. Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0; (A²+B²+C²0);

Центральные кривые: 0; Приведение центральных кривых: 1.Параллельный перенос. 2.Поворот. Виды кривой: 1.Эллиптический тип  0 (эллипс, точка, пустое множество); 2.Гиперболический тип  0 (гипербола, пара пересек. прямых).

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

30. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе. Преобразование коэффициентов уравнения второго порядка при параллельном переносе.

31.Преобразование декартовых координат при повороте осей. Преобразование коэффициентов уравнения второго порядка при повороте осей.

32.Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Случай центральной кривой

Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы или параболы, или к случаям их выражения. С помощью поворота осей координат на некоторый угол α всегда можно избавиться от члена с произведением координат. Действительно, подставляя в (47) вместо x и y их выражения по формуле (43), получим новое уравнение

коэффициент которого a'₁₂ будет равен

Приравнивая коэффициент a'₁₂ к нулю, получим тригонометрическое уравнение

Отсюда получаем

Далее, по формулам тригонометрии, получаем нужные нам значения для sin α и cos α :

Следовательно, уравнение кривой в новых координатах O'x'y' примет вид:

Если в уравнении (50) , то говорят, что это уравнение определяет линию эллиптического типа; если же , то говорят, что уравнение определяет линию гиперболического типа и, если один из коэффициентов a'₁₁ или a'₂₂ равен нулю, то уравнение (50) определяет линию параболического типа. Далее с помощью параллельного переноса системы координат O'x'y' уравнение (50) всегда можно привести к виду:

т.е. фактически к каноническому виду. Из уравнения (51) следует, что мы имеем либо эллипс (если a'₁₁ и a'₂₂ одного знака, а a"₀ противоположного), либо мнимое место точек (если a'₁₁, a'₂₂, a"₀ имеют один знак), либо одну точку (если a'₁₁ и a'₂₂ имеют один знак, а a"₀ = 0), либо гиперболу (если a'₁₁ и a'₂₂ разных знаков и a"₀ ≠ 0), либо две пересекающие прямые (если a'₁₁ и a'₂₂ разных знаков и a"₀ = 0). Если же в уравнении (50) один из коэффициентов a'₁₁ и a'₂₂ , например, a'₂₂ обращается в нуль, то это уравнение с помощью переноса осей приведется к каноническому уравнению параболы при a'₂₂ ≠ 0 или к виду при a'₂₂ = 0, что дает или две параллельные прямые, или мнимое место точек. Отсюда следует, что всякая кривая 2-го порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо представляет собой их "вырождение".