38Цилиндрические и конические поверхности. Их уравнения.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и

пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р) называется

конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется

направляющей конуса, точка Р – ее вершиной, а прямая, описывающая

поверхность, называется образующей.

- уравнение конуса

Цилиндр.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в

пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую

кривую К, называется цилиндром. При этом кривая К называется

направляющей цилиндра, а прямая L – образующая.

- уравнение цилиндра

39. Раздел № 4. Матрицы. Определители. Обратные матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины стробцов.

Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кол

  Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если

40. Матрицы. Действия над матрицами (произведение на число, сложение матриц). Операция умножения матриц, ее свойства

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины стробцов

.Умножение матрицы на число (обозначение: ) заключается в построении матрицы , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы на это число, то есть каждый элемент матрицы равен

1. 1A = A;

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Сложение матрицСкладывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц есть операция нахождения матрицы , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и , то есть каждый элемент матрицы равен Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность ,  — , то размерность их произведения есть .Свойства умножения матриц:1.ассоциативность (AB)C = A(BC);2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AЕ = ЕA;4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

41. Перестановки, транспозиции. Четные и нечетные перестановки. Определение определителя

Под перестановкой множества S понимается множество этих же чисел, упорядоченное некоторым другим образом:

Перестановка называется транспозицией, если переставляются местами только два элемента множества, тогда как остальные элементы остаются на своих местах. Пример перестановки:     Пример транспозиции:     Говорят, что перестановка множества  S  содержит инверсию элементов  i_j  и  i_k , если нарушен их естественный порядок расположения, т.е. больший элемент расположен левее меньшего:

 i_j > i_k       (  j < k ).

Например, перестановка  {2, 4, 1, 3} содержит три инверсии элементов:

2    и    1, 4    и    1, 4    и    3.

Число инверсий определяет четность перестановки. Перестановка называется четной, если она содержит четное число инверсий элементов. Нечетная перестановка содержит нечетное число инверсий.

42 Свойства определителя. Знак члена определителя. Операция транспонирования матриц, ее свойства. Определитель транспонированной матрицы. Свойство антисимметрии определителя при перестановке строк (столбцов).

Свойства определителейСВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

.СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.СВОЙСТВО 9. Определитель

авен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, , , , , .

a1 b2 c3 c1 a3 + остальТранспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номеромами.