26.Условие того, что две прямые скрещиваются. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

прямые l1 и l2 называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Пусть а и b — направляющие векторы этих прямых, а точки M1 и M2 принадлежат соответственно прямым и l1 и l2

Тогда векторы а, b, M1M2> не компланарны, и поэтому их смешанное произведение не равно нулю, т. е. (а, b, M1M2> ) =/= 0.Верно и обратное утверждение:если (а, b, M1M2> ) =/= 0, то векторы а, b, M1M2> не компланарны, и, следовательно, прямые l1 и l2 не лежат в одной плоскости, т. е. скрещиваются.Таким образом, две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда выполнено условие(а, b, M1M2> ) =/= 0, где а и b — направляющие векторы прямых, а M1 и M2 — точки, принадлежащие соответственно данным прямым. Условие(а, b, M1M2> ) = 0 является необходимым и достаточным условием того, что прямые лежат в одной плоскости. Если прямые заданы своими каноническими уравнениями

то а = (а1; а2; а3), b = (b1; b2;b3), М1 (x1; у1; z1), М2(х2; у2; z2) и условие (2) записывается следующим образом:

Расстояние между скрещивающимися прямыми

это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

27.Определение эллипса, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства.

Э ллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фокусированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная. При этом не исключается совпадение фокусов эллипсиса. Если фокусы совпадают то эллипсис представляет собой окружность. Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение:

описывает мнимый эллипс. Изобразить такой эллипс в действительной плоскости невозможно. Обозначим фокусы через F1 и F2,а расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произ­вольной точки эллипса до фокусов — через 2а

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и Пусть М(х;у) — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно опре­делению эллипса, , т. е.

.

28.Определение гиперболы, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояния до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂=±2a,

28.Определение параболы, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства. Параболой называется ГМТ плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости. F – фокус параболы; фиксированная прямая – директриса параболы. r=d,

r= ; d=x+p/2;  (x-p/2)²+y²=(x+p/2)²; x²-xp+p²/4+y²=x²+px+p²/4;y²=2px;

Свойства: 1.Парабола имеет ось симметрии(ось параболы); 2.Вся

парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Oxy при p>0, и в левой

если p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.