5.Базис на плоскости и в пространстве. Координаты и компоненты вектора. Ортонормированный базис. При линейных операциях над векторами координаты складываются и умножаются на число.

1. Говорят, что три линейно независимых вектора a,b,c образуют в пространстве базис, если любой вектор d может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов a,b,c, т.е. если для любого вектора d найдутся такие вещественные числа k,j,h, что справедливо равенство d=ka+jb+hc(2.17). 2.Говорят, что два лежащих в плоскости П линейно независимых вектора a,b образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости П вектор c может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов a,b , т.е.если для любого лежащего в плоскости П вектора с найдутся такие вещественные числа k,j, что справедливо равенство c=ka+jb. Фундаментальные утверждения: 1.Любая тройка некомпланарных векторов a,b,c образует базис в пространстве;2.Любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов a и b образует базис на этой плоскости. Равенство (2.17) принято называть разложение вектора d по базису a,b,c, а чисал k,j,h – координатами вектора d относительно базиса a,b,c. Каждый вектор d может быть единственным способом разложен по базису a,b,c. Теорема 2.7.При сложении двух векторов d1 и d2 их координаты (относительно любого базиса a,b,c) складываются. При умножении вектора d1 на любое число m все его координаты умножаются на это число. Д-во: Пусть d1=k1a+j1b+h1c, d2=k2a+j2b+h2c. Тогда в силу свойств 1-7 линейных операций d1+d2=(k1+k2)a+(j1+j2)b+(h1+h2)c, md1=(mk1)a+(mj1)b+(mh1)c. В силу единственности разложения по базису теорема доказана. Афинными координатами любой точки М называются координаты вектора ОМ( относительно базиса a, b, c). В случае декартовой прямоугольной системе координат базисные вектора принято обозначать буквами i, j, k . Каждый из векторов i, j , k имеет длину, равную единице, причем три эти вектора взаимно ортогональны(направления этих векторов совпадают с направлениями осей Ох, Оу, Oz соответственно) Каждый вектор d может быть, и притом единственным способом, разложен по декартовому прямоугольному базису I,j,k ,т.е. для каждого вектора d найдется, и притом единственная тройка чисел X,Y,Z) такая , что справедливо равенство d=Xi+Yj+Zk. Числа X,Y,Z называются декартовыми прямоугольными координатами вектора d . d={X,Y,Z}. =

6.Проекция вектора на ось, ее выражение и простейшие свойства. Скалярное произведение двух векторов. Определение скалярного произведения. Геометрические свойства скалярного произведения.

Прежде всего определим проекцию вектора а=AB на произвольную ось u. Обозначим буквами А’ и B’ основания перпендикуляров опущенных на ось u из точек А и В соответственно. Проекцией вектора а=АВ на ось u называется величина A’B’ направленного отрезка A’B’ оси u . Угол наклона вектора а к оси u может быть определен, как угол фи между двумя выходящими из произвольной точки M лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора а=АВ, а другой – направление, совпадающее с направлением оси u. Теорема. Проекция вектора а на ось u равна длине вектора а , умноженной на косинус фи угла наклона вектора а к оси u. Основные свойства проекции вектора на ось заключаются в том, что линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям этих векторов на произвольную ось. Утверждение: При сложении двух векторов d1 и d2 их проекции на произвольную ось u складываются. При умножении вектора d1 на любое число m проекция этого вектора на произвольную ось u также умножаются на число m. (докво по рисунку и опр проекции) 1) Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. ab= cosфи. 2) Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одно из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Теорема 2.10. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Д-во: 1)Необходимость. Пусть векторы а и b ортогональны, фи – угол между ними. Тогда cosфи=0 и в силу определения скалярного произведения, ab равно нулю. 2) Достаточность. Пусть скалярное произведение ab равно нулю. Докажем, что векторы a и b ортогональны. Прежде всего исключаем тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов a или b является нулевым( нулевой вектор имеет неопределенное направление, и его можно считать ортогональным любому вектору). Если же оба вектора a и b ненулевые, то >0 и >0 , и поэтому из равенства ab=/=0 и из определения вытекает, что cosфи=0, т.е. векторы a и b ортогональны. Теорема доказана. Теорема 2.11. Два ненулевых вектора a и b составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно(отрицательно). Д-во: Так как векторы a и b ненулевые, то в силу определения скалярного произведения, знак скаляр. произведения совпадает со знаком cosфи. Но если угол фи не превосходит Пи, то cosфи положителен тогда и только тогда, когда фи – острый угол, и отрицателен тогда и только тогда, когда фи – тупой угол. Теорема доказана.