Свойства операции транспонирования матриц:

1. 

2. 

3. 

4. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

43Свойство линейности определителя. Свойства определителя, выражающие условия равенства его нулю. Операции над строками столбцами), не меняющие определителя.

1. Равноправие строк и столбцов. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца (строки). 3. Антисимметрия. При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.Доказательство свойств 1 и 3 основано на правиле расстановки знаков членов определителя.4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.Действительно, при перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.

, откуда   или  .5. Линейность. Если j-й столбец  (i-я строка A ) определителя det A является линейной комбинацией A  λB + μC (A  λB + μC) двух произвольных столбцов (строк) В и С , то и сам определитель оказывается линейной комбинацией det A   det A (λB + μC)   λdet A (B) + μdet A (C) определителей det A (B) и detA (C). Здесь det A (B) (det A (C)) – определитель, полученный из определителя det А заменой в нем j-го столбца A  на столбец В (столбец С ).6. Общий множитель всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить на число λ, то сам определитель умножится на это число.7. Если какой-либо столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов (строк), то определитель равен нулю.Свойства 6 и 7 вытекают из пятого свойства.8. Определитель не изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию его столбцов (строк).Действительно, в силу линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с двумя одинаковыми столбцами (строками).9. Определитель суммы двух квадратных матриц одного и того же порядка n A   и  В  , i, j =   равен сумме всех различных определителей порядкаn, которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть – совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В.Доказательство следует из свойства линейности определителя.10. Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей det (AВ)   det AЧdet B.

44Минор, дополнительный минор. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу)

Минором  элемента  матрицы  n-го  порядка называется определитель матрицы  (n-1)-го порядка, полученный из матрицы  А  вычеркиванием  i-й строки и  j-го столбца.

При выписывании определителя  (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.

Дополнительный минор квадратной матрицы порядка ( ) — определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием строк и столбцов.

Алгебраическим дополнением  А_ij  элемента а_ij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца: то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.Рассмотрим квадратную матрицу  A  n-го порядка. Выберем  i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем  i-ую строку и  j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом  M_i j:

. Алгебраическое дополнение  A_i,j  элемента  a_i j определяется формулой .

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы  A  равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.