1.Понятие векторов. Коллинеарность векторов. Компланарность векторов. Модуль вектора. Линейные операции над векторами: умножение на число и сложение векторов. Их свойства.

Геометрическим вектором будем называть направленный отрезок. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля( или абсолютной величины).Суммой а+b двух векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a.(Правило треугольника).Свойства: 1.a+b=b+a(переместительное св.);2.(a+b)+c=a+(b+c)(сочетательное);3.существует нулевой вектор 0 такой, что a+0=a для любого вектора a;4.для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a’ такой, что a+a’=0. 5 Разностью a-b вектора a и вектора b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а. Произведением ka вектора a на вещественное число к называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную │к│*│а│, и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а в случае к>0 и противоположное направлению вектора а в случае к<0.Свойства:6 к(a+b)=ka+kb(распределительное св. числового сомножителя);7.(k+j)a=ka+ja(распределительное свойство векторного сомножителя);8.k(ja)=(kj)a(сочетательное свойство).9 1*a=a

Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство —набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр^[1]

2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Общие свойства линейной зависимости

Если линейная комбинация   может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел   есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов   называется линейно зависимой. Если линейная комбинация   представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа   равны нулю, то система векторов   называется линейно независимой.

1. Конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство. Для системы векторов   имеем:  . Поскольку среди коэффициентов первый отличен от нуля, то система векторов    линейно зависима.  

2.  Если конечная система векторов содержит линейно зависимую подсис­тему, то она сама линейно зависима.

Доказательство. Пусть система векторов   содержит линейно зависимую подсистему  . Это означает существование действительных чисел  , среди которых есть числа, отличные от нуля, таких, что  . Но тогда  , причем среди коэффициентов   есть отличные от нуля. Следо­вательно, данная система векторов линейно зависима.                                                          *

3.  (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)  Конечная система векторов, содержащая более одного вектора, линейно зависима   она содержит вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.

_{Доказательство.  ( ).  Пусть система векторов}   линейно зависима и  .  Это означает существование чисел  , среди которых есть отличные от нуля, таких, что  .   Пусть . Тогда  ,  то есть вектор   линейно выражается через остальные векторы системы.

( ).  Пусть вектор   линейно выражается через остальные век­торы системы:  . Тогда  . Следовательно, система векторов   линейно зави­сима.