ВычМатЭкз

1.2. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, записанных в виде

Ах=b, (1.5)

где А- матрица системы, х- неизвестный вектор, b- вектор правой части. Различные системы линейных алгебраических уравнений (1.5) обладают различной чувствительностью к погрешностям входных данных, т.е. система может быть или хорошо обусловленной или плохо обусловленной.

Пусть х - точное решение системы (1.5), х*- приближенное решение системы (1.5). Абсолютную и относительную погрешность вектора х* определяют с помощью формул:

Предположим, что элементы матрицы А заданы точно, а вектор-столбец правой части-приближенно.

Для погрешности приближенного решения системы (1.5) справедлива оценка

Теорема 1.1. Пусть х*- точное решение системы Ах*=b*, в которой правая часть b* является приближенным к b. Тогда верны следующие оценки абсолютной и относительной погрешностей:

числом обусловленности и является для задачи (1.5) относительным числом обусловленности.

Для максимального значения естественного числа обусловленности, используя определения нормы матрицы, имеем:

Величина (1.10) называется стандартным числом обусловленности (или просто числом обусловленности) матрицы А и обозначается ν( A) или cond(A) , т.е.

Из неравенств (1.8), (1.9) следует, что

δ(х*) ≤ Cond(A) *δ(b*) . (1.12)

Величина Cond(А) широко используется для качественной оценки обусловленности системы (1.5). Систему (1.5) или матрицу А принято называть плохо обусловленной, если Сond(А) >>1.

Справедливы следующие свойства числа обусловленности.

1.Для единичной матрицы Cond(Е)=1.

2.Справедливо неравенство Cond(А) ≥1.

3.Число обусловленности матрицы А не меняется при умножении матрицы на произвольное число α ≠ 0 .

Число обусловленности можно интерпретировать как отношение максимального коэффициента растяжения векторов под действием матрицы

Величина Cond(А) зависит от выбора нормы векторов в пространстве Rn. Пример 1. Вычислить Cond1 (А) для матрицы

Тогда Соnd1( A) = A1 A−1 1 = 2,02 *187,2 ≈ 378 .

Если входные данные для системы уравнений с матрицей (1.13) содержат относительную погрешность порядка 0,1% - 1%, то систему можно расценить как плохо обусловленную.

Пример 2. Рассмотрим систему уравнений

получены с точностью 0,005. Как влияет погрешность во входных данных такого порядка на погрешность решения? Возмутив правую часть b системы (1.14) на 0,005, получим b*=(2,505; 2,415)т. Решением системы, отвечающим b*, является вектор х* с компонентами х*1=2,877,

х*2=-0,4629. Отсюда видно, что решение полностью исказилось. Относительная погрешность задания правой части

Можно ли ввести в правую часть системы (1.14) такую погрешность, чтобы получить существенно большее, чем 237, значение коэффициента роста ошибки? Вычислим естественное число обусловленности, являющееся максимальным значением рассматриваемого коэффициента, отвечающим решению х ≈ (1,981;0,4735)Т , и получим

νδ (х) = А−1 1 b1 ≈187,2* 2,51 ≈ 237 .

х1 1,981

Таким образом, на поставленный вопрос следует ответить отрицательно.

До сих пор мы предполагали, что матрица А задана точно. На практике это часто не так. Справедлива теорема.

Теорема 1.2. Пусть х*- точное решение системы A* х*=b с приближенно заданной матрицей A* . Тогда верна следующая оценка относительной

Из неравенства (1.15) следует приближенное неравенство: δ(х*) меньше или приближенно равно Cond(А)δ( A* ). В том случае, когда с погрешностью

гораздо более важным критерием трудности решения линейной системы (1.5), чем малость det(А), либо громозкость порядка n. Если известно, что A =1, то очевидно, что Cond(А) = A−1 . Грубо говоря, если элементы

матрицы А находятся в области от 0,1 до 1, то обусловленность матрицы А определяется величиной элементов А-1.

Таким образом, если матрица А масштабирована так, что ее элементы близки к единице, надежным признаком плохой обусловленности А является тот факт, что некоторые или все элементы матрицы А-1 велики.

По выше указанной причине перед началом решения системы (1.5) целесообразно масштабировать систему так, чтобы ее коэффициенты были близки к единице. Первый способ заключается в умножении каждого из уравнений на некоторый масштабирующий множитель µi . Второй способ

заключается в умножении на масштабирующий множитель α j каждого j-го

столбца матрицы.

На практике масштабирование производят делением каждого уравнения на его наибольший по модулю коэффициент.