ВычМатЭкз
.pdf
(4)
Фактически пересчет позволяет учесть, хоть и приблизительно, изменение производной 
на шаге интегрирования 
, так как учитываются ее значения 
в начале и 
в конце шага (рис. 1), а затем берется их среднее.
Оценка качества численных методов решения задачи Коши.
Вводится сеточная функция ψ, которая называется погрешностью аппроксимации. Для вычисления ψ надо в формулу численного метода подставить точное решение.
ψ ≤C h p |
; C – const. Получаем, что порядок аппроксимации равен p. |
|||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ= |
y ( xi+1)− y (xi ) |
− f ( x , y |
) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (xi+1 )= y (xi )+hf (xi , y (xi ))+ h2 |
|
||||||||
Формула Тейлора |
|
|
y' ' (ξ) xi <ξ< xi+1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ψ= f (x |
i |
, y ( x |
))+ |
h |
y ' ' (ξ |
)− f (x |
i |
, y ( x ))= h y ' ' (ξ |
) |
(1) |
||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
2 |
i |
|
|
i |
2 |
i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M 2=max y' ' (ξ)
Локальная погрешность метода — это погрешность на одном шаге. Метод p-порядка имеет на каждом шаге локальную погрешность
li= yi+1− y( xi+1 ) |
O(h2 ) – локальная погрешность. |
|
|||
Из (1) y (xi+ 1)= y ( xi )+hf (xi , y ( xi ))+ |
h2 |
y ' ' (ξi ) |
li= y (xi +1)− yi +1= h2 |
y' ' (ξi ) |
|
|
|||||
|
2 |
|
2 |
|
|
Глобальная погрешность – погрешность численного решения после выполнения нескольких шагов.
E (h)= max y (xi)− yi ;
0≤i ≤h
y (xi ) – точное решение в этой точке. yi – приближенное решение.
Численный метод сходится если E (h)→0
Если E (h)=O (h p );h→0 , то метод имеет порядок точности p.
