563. Основы математической статистики

влевом верхнем углу графика пояснительную надпись, часть которой была получена ранее в строке 32 : «legend=paste(...ltext)». Параметр «lty=1» указывает, что теоретические функции ( ) и ( ), соответствующие распределению случайной величины (8.34, 1.89), отображаются на графиках сплошной линией.

3.3.Интервальные оценки параметров распределения

При оценивании неизвестных параметров распределения наряду с рассмотренными выше точечными оценками получили распространение интервальные оценки. В отличие от точечной интервальная оценка позволяет получить вероятностную характеристику точности оценивания неизвестного параметра .

Пусть имеется случайная выборка объёма из непрерывного распределения случайной величины с неизвестным параметром , для

чайной выборки, такие, что верно равенство

P{ ( −, +)} = .

Тогда интервал I ( ) = ( −, +) называют доверительным интер-

валом, накрывающим неизвестный параметр с заданной доверительной вероятностью или -доверительным интервалом.

Заметим, что при построении доверительных интервалов для дискретных случайных величин вместо равенства удаётся обеспечить лишь неравенство

P{ ( −, +)} > .

Доверительная вероятность , как правило, считается заданной, близкой к единице и при отсутствии других соображений выбирается среди значений: 0.9, 0.95, 0.975, 0.99, 0.995, . . .

Один из типичных методов построения доверительного интервала основан на использовании статистики ( ), функция распределения которой ( ) не зависит от оцениваемого параметра . При этом используются следующие предположения:

1.Функция распределения статистики ( ) является непрерывной и возрастающей;

2.Для любой реализации выборки статистика ( ) является непрерывной и монотонной функцией параметра ;

3. Задана доверительная вероятность .

Согласно первому предположению для любого числа [0, 1] существует единственный квантиль уровня функции распределения( ). Отсюда с учётом третьего предположения получим равенства:

справедливые для любых допустимых значений параметра , так как функция распределения статистики ( ) от не зависит. Согласно второму предположению для любой реализации выборочной совокуп-

Доверительный интервал для M( ) при ( , )

При построении доверительного интервала для математического ожидания нормально распределённой случайной величины( , ) по случайной выборке объёмом используется статистика вида

Отсюда следует, что статистика ( ) имеет распределение Стьюдента с − 1 числом степеней свободы. Для убывающей по параметруфункции ( ) определяющие доверительный интервал уравнения

( ) = 1± принимают вид

2

Решая эти уравнения, находим нижнюю и верхнюю границы -до- верительного интервала для математического ожидания M( ) = нормально распределённой случайной величины ( , ):

Доверительный интервал для D( ) при ( , )

При построении доверительного интервала для дисперсии нормально распределённой случайной величины ( , ) по случайной выборке объёмом используется статистика, имеющая распределение 2 с числом степеней свободы − 1

Для убывающей по параметру функции ( ) нижняя и верхняя границы -доверительного интервала определяются уравнениями

Решая эти уравнения, находим -доверительный интервал для дисперсии D( ) = 2 нормально распределённой случайной величины

( , ):

Пример 3.2. Построим реализации доверительных интервалов для математического ожидания M( ) и дисперсии D( ) стандартной нормально распределённой случайной величины (0, 1) при различных значениях доверительной вероятности [0.95, 0.999] и объёма выборок [100, 1000] с помощью R.

1> set.seed(20100625)

2> n <- seq(100, 1000, 20)

3> g <- seq(0.95, 0.995, , length(n))

4> ciM <- function(x,n,g) mean(x)-sd(x)/sqrt(n)*qt((1+c(g,0,-g))/2,n-1)

5 > ciD <- function(x,n,g) sd(x)^2*(n-1)/qchisq((1+c(g,0,-g))/2,n-1) 6 > ciMn <- sapply(n, function(nn) ciM(rnorm(nn), nn, g[1]))

7> ciDn <- sapply(n, function(nn) ciD(rnorm(nn), nn, g[1]))

8 > ciMg <- sapply(g, function(gg) ciM(rnorm(n[1]), n[1], gg))

9> ciDg <- sapply(g, function(gg) ciD(rnorm(n[1]), n[1], gg))

10> txtMn <- sprintf("MX(n,g=%.3g)",g[1])

11> txtDn <- sprintf("DX(n,g=%.3g)",g[1])

12> txtMg <- sprintf("MX(g,n=%.0f)",n[1])

13> txtDg <- sprintf("DX(g,n=%.0f)",n[1])

14> ci_graph <- function(x, y, point, text) { windows()

15+ plot(range(x), range(y), type="n", xlab="", ylab="")

16+ for(j in seq(length(y))) {

17+ lines(x[,j], rep(y[j],3), lwd=2)

18+ points(x[2,j], y[j], pch=16, lwd=2) }

19+ legend("topright", legend=text, bg="white")

20+ abline(v=point, lty=2, lwd=2) }

21> ci_graph(ciMn, n, 0, txtMn)

22> ci_graph(ciMg, g, 0, txtMg)

23> ci_graph(ciDn, n, 1, txtDn)

24> ci_graph(ciDg, g, 1, txtDg)

Встроке 1 устанавливается состояние генератора псевдослучайных чисел, а в строках 2–3 формируются векторы значений объёма выборки «n» и доверительной вероятности «g».

Встроках 4–5 определяются функции «ciM» и «ciD», которые с заданной вероятностью «g» вычисляют границы доверительных интервалов для M( ) и D( ) по выборке «x» заданного объёма «n».

Далее, в 6–7 с помощью функции «sapply()» для каждого значения объёма выборки из интервала [100, 1000] с фиксированной вероятностью 1 = 0.95 строятся реализации доверительных интервалов для M( ) и D( ) случайной величины (0, 1), показанные на рис. 3.3 и 3.4 в верхнем ряду.

Аналогично, в 8–9 с помощью функции «sapply()» для каждого значения доверительной вероятности из интервала [0.95, 0.995] при фиксированном объёме выборки 1 = 100 строятся реализации доверительных интервалов для M( ) и D( ) случайной величины

(0, 1), показанные на рис. 3.3 и 3.4 в нижнем ряду.

Встроках 10–13 формируются поясняющие надписи для каждого графика, а затем в 14–20 описывается функция «ci_graph», выполняющая построение самих графиков.

Функция «windows()» в строке 14 открывает новое графическое окно, в котором функция «plot()» рисует оси координат, используя размахи абсцисс «range(x)» и ординат «range(y)». Никаких построений кроме осей координат функция «plot()» не выполняет: «type="n"», 15 .