Глава 1

Элементы линейной алгебры

В данной главе приведён краткий обзор основных понятий линейной алгебры и матричного исчисления, используемых в статистических методах обработки экспериментальных данных. Приводимые примеры демонстрируют использование этих понятий для эффективного решения прикладных задач на языке статистической обработки данных и программирования R [1]. Излагаемый материал не претендует на полноту и математическую строгость изложения и никоим образом не подменяет основных учебников по освещаемым темам [3,9].

1.1. Векторное пространство

В традиционных курсах линейной алгебры векторное пространство определяется как некоторое множество объектов (векторов), на котором выполняются некоторые аксиомы. В данном разделе определим -мерный вектор как столбец, состоящий из действительных чисел , записанных в определённом порядке = 1, 2, . . . , и

называемых координатами или компонентами вектора

1

= . .2. .

=

Два вектора называются равными , если равны их соответствующие координаты: = , = 1, 2, . . . , . Для заданных в такой форме векторов определены две линейные операции:

1. Сложение векторов и

1 1 1 + 1

2. Умножение вектора на вещественное число

81. Элементы линейной алгебры

текущей строке, что существенно облегчает ориентацию, если выводимый вектор занимает на экране больше одной строки.

В 1–2 строках с помощью функции объединения «c()» поэлементно определяются значения векторов , , , , присваиваемые затем одноимённым переменным с помощью оператора «<-». Оператор «;» даёт пользователю возможность разместить в одной строке несколько последовательно выполняемых команд.

Далее для переменных «o,x,y,z» иллюстрируется выполнение вышеуказанных свойств 3–15 . Все свойства записываются с использованием логического оператора эквивалентности «==», который производит поэлементное сравнение векторов в левой и правой частях равенства и возвращает результат сравнения в виде логического вектора с константами «TRUE» или «FALSE». Как можно легко убедиться, для приведённых исходных данных все перечисленные свойства векторного пространства выполняются.

Данный пример демонстрирует одну из важнейших особенностей языка R–– эффективную реализацию векторных операций, позволяющую использовать весьма компактную запись при обработке данных большого объёма.

1.2. Базис векторного пространства

Линейной комбинацией векторов , = 1, 2, . . . , в пространстве называется выражение вида

1 1 + 2 2 + . . . + = ∑ .

=1

Система векторов , = 1, 2, . . . , называется линейно независимой, если равенство

выполняется только в том случае, когда все равны нулю. Если же существует такой набор коэффициентов, в котором хотя бы одно значение отлично от нуля и при этом выполняется указанное равенство, то такая система называется линейно зависимой. В линейно зависимой системе любой из векторов может быть представлен как линейная комбинация остальных.

Совокупность линейно независимых векторов { }, = 1, 2, . . . ,

называется базисом векторного пространства , если любой вектор этого пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса

= 1 1 + 2 2 + . . . + .

Это равенство называется разложением вектора по базису { }, а числа { }–– координатами вектора в указанном базисе.

Из определения базиса вытекают следующие утверждения:

1.Любой базис -мерного векторного пространства содержит ровно векторов, при этом число векторов, образующих базис { },= 1, 2, . . . , , совпадает с размерностью векторного пространства, которая обозначается как dim = .

2.Любой вектор -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по заданному базису { }, = = 1, 2, . . . , .

Следствием первого утверждения является тот факт, что в любая система, состоящая из векторов, где > , является линейно зависимой.

Некоторое подмножество линейного пространства называется его линейным подпространством, если из и следует, что ( + ) для любых и , а из следует, что при любом вещественном .

Очевидно, что размерность линейного подпространства не превосходит размерности линейного пространства dim 6 dim .

Совокупность всех линейных комбинаций векторов { }, где = = 1, 2, . . . , называется линейной оболочкой этих векторов.

Пример 1.2. Продолжая предыдущий пример, найдём координаты вектора (1, −2, 3, −4) в базисе (1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1), (1, 3, 4, 2),

(1, 4, 2, 3) с помощью языка R. Напомним, что решение этой задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, в которой столбцы векторов базиса ( , , , ) формируют матрицу коэффициентов, а разлагаемый по базису вектор –– столбец свободных членов: