«bg="white"», а функция «abline()» в строке 20 –– штриховую линию двойной толщины «lty=2,lwd=2», пересекающую ось абсцисс по нормали в точке «v=point», соответствующей истинным значениям оцениваемых величин: M( ) = 0, D( ) = 1.

В строках 21–24 описанная функция используется для непосредственного построения реализаций доверительных интервалов M( ) и D( ) при различных значениях [100, 1000] и [0.95, 0.999] для (0, 1).

Из графиков, показанных на рис. 3.3 и 3.4, хорошо видно, что доверительные интервалы и для M( ) и для D( ) представляют собой коллинеарные оси абсцисс случайные векторы, длина которых уменьшается по мере увеличения объёма выборки и уменьшения доверительной вероятности .

3.4. Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой принято считать любое предположение о законе распределения случайной величины генеральной совокупности или о значениях параметров закона распределения.

Высказанное предположение, которое подлежит проверке, обозначается 0 и называется основной или нулевой гипотезой. Наряду с основной гипотезой в рассмотрение вводится и противоречащая ей гипотеза 1, которая называется конкурирующей или альтернативной. Цель проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить, не противоречит ли высказанная гипотеза 0 имеющимся выборочным данным { 1, 2, . . . , }.

Для проверки нулевой гипотезы формируется статистический критерий –– специальная статистика ( 1, 2, . . . , ), распределение которой в условиях нулевой гипотезы 0 известно. По известному распределению статистического критерия определяется множество значений, которые величина принимает с вероятностью , близкой к единице, то есть практически достоверно. Это множество называется областью принятия нулевой гипотезы 0. Дополнение этого множества образует критическую область (или область отвержения гипотезы 0).

Проверка нулевой гипотезы осуществляется следующим образом. По выборочным данным вычисляется наблюдаемое значение критерия = ( 1, 2, . . . , ). Если значение принадлежит критической области, то проверяемая гипотеза 0 отвергается, как противоречащая выборочным данным, и принимается альтернативная

62 3. Основы математической статистики

гипотеза 1. Если же принадлежит области принятия нулевой гипотезы, то она принимается, как согласующаяся с выборочными данными. В этом случае говорят, что нулевая гипотеза принимается на уровне значимости = 1 − .

Принципиально важно понимание того, что статистическими методами можно лишь опровергнуть выдвинутую гипотезу 0, но

нельзя её доказать.

Уровень значимости гипотезы характеризует вероятность совершить ошибку первого рода, заключающуюся в напрасном отвержении верной нулевой гипотезы: P { 1| 0} = . Помимо этого, существует вероятность совершить ошибку второго рода, состоящую в напрасном принятии неверной нулевой гипотезы P { 0| 1} = . Дополнительную к величину, соответствующую вероятности недопущения ошибки второго рода P { 1| 1} = 1 − , называют мощностью критерия. Заметим, что одновременное уменьшение вероятностей ошибок первого и второго рода возможно только при увеличении объёма выборки .

Во многих системах компьютерной математики, в том числе и в R, для наблюдаемого значения критерия определяется достигаемый уровень значимости, называемый также « -значением» или « -value», соответствующий наименьшему уровню значимости , при котором нулевая гипотеза 0 отвергается для данного наблюдаемого значения критерия . Чем меньше значение величины , тем увереннее отвергается нулевая гипотеза 0.

Важное значение в математической статистике имеет принцип двойственности при построении доверительных интервалов и

проверке гипотез о значениях параметров распределения. Нетрудно убедиться в том, что при выбранном уровне надёжности доверительный интервал для некоторого параметра составляют те его значения, которые совместимы с гипотезой 0: = на уровне значимости = 1 − .

3.4.1. Пирсона 2-критерий согласия

Пусть необходимо проверить нулевую гипотезу 0 о том, что случайная величина подчиняется определённому закону распределения 0( ), то есть 0: ( ) = 0( ). Если не оговорено иное, то под альтернативной гипотезой 1 будем понимать дополнение к нулевой, то есть 1: ( ) ≠ 0( ). Для того чтобы определить, согласуются ли результаты наблюдений с нулевой гипотезой 0, принято использовать критерии согласия.

Критерием согласия называется статистический критерий проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения вероятностей –– теоретическому. Выделяют общие критерии согласия, применимые для проверки любых видов распределений вероятностей, и специальные критерии, применимые для проверки определенных групп распределений. В последнем случае при формулировании критериев согласия используются свойства функций для выбранной группы распределений.

Критерии согласия могут быть основаны на изучении разницы между теоретической плотностью распределения и гистограммой (к примеру, критерий согласия 2), а могут–– на изучении разницы между теоретической и эмпирической функциями распределения (к примеру, критерий Колмогорова–Смирнова).

Гипотезы: Проверяется нулевая гипотеза 0 : ( ) = 0( , ) против альтернативной 1 : ( ) ≠ 0( , ), где 0( , ) –– теоретическая функция распределения случайной величины ; R –– -мерный вектор в общем случае неизвестных параметров распределения .

Статистика: Критерий согласия 2, предложенный К. Пирсоном в 1900 году, основывается на анализе группированных данных. При этом область возможных значений реализации выборки { 1, 2, . . . , } разбивают на непересекающихся интервалов:( 0, ] = ( 0, 1] ( 1, 2] . . . ( −1, ] и вычисляют статистику, имеющую распределение 2 с числом степеней свободы

− − 1:

где –– эмпирическая частота попаданий выборочных значенийв интервал ( −1, ]; –– теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в интервал ( −1, ]:= 0( , ) − 0( −1, ), где R –– выборочная оценка-мерного вектора неизвестных параметров распределения .

Критерий: Если наблюдаемое значение статистики превосходит

на заданном уровне значимости квантиль распределения 2

вая гипотеза на уровне значимости отвергается в пользу альтернативной 1 : ( ) ≠ 0( , ). В противном случае

При построении равномерного разбиения указанный диапазон следует «расширить» до ближайших целых или рациональных значений: min ↓ ^min и max ↑ ^max таким образом, чтобы общая длина была кратной выбранному шагу : ^max − ^min = , а число интервалов группировки лежало бы в диапазоне: [5, 15]. Этому соответствует разбиение целыми точками интервала: (^min, ^max] =

=(4, 15] = (4, 5] (5, 6] . . . (14, 15].

Встроке 8 формируется вектор граничных точек «b1» и с помощью суперпозиции функций «table(cut())» осуществляется группировка выборочных значений по указанным интервалам 9–12 .

16> b3 <- c(-Inf,6:11,Inf); p3 <- diff(pnorm(b3,a,s))

17> round(p3,5); sum(p3)

18[1] 0.10775 0.13111 0.18918 0.20775 0.17365 0.11046 0.08009

19[1] 1

20> chisq.test(x=m2, p=p3)

21Chi-squared test for given probabilities

22data: m2

23X-squared = 1.291, df = 6, p-value = 0.9722

24> x1 <- seq(4,15,length=300); f1 <- dnorm(x1,a,s)

25> hist(x, breaks=b2); rug(x); lines(x1, f1)

26> windows(); qqnorm(x, pch=3); qqline(x, lty=2)

Из приведённых в строках 9–12 данных видно, что первый интервал группировки и четыре последних содержат слишком мало значений: 1 = 8 = 3, 9 = 10 = 11 = 1. Тогда, для соответствия условию > 5, следует попытаться объединить эти интервалы с соседними: (4, 5] (5, 6] = (4, 6] и (11, 12] (12, 13] (13, 14] (14, 15] = (11, 15]. Новый вектор граничных точек «b2» и соответствующая ему группировка выборочных значений показаны в строках 13–15 .

Для подсчёта вектора теоретических частот «p3» в строке 16

используется дополнительный вектор «b3», «расширяющий» границы эмпирического разбиения на всю область определения функции0( ). Значение «Inf» в системе R соответствует бесконечности, а суперпозиция функций «diff(pnorm())» по вектору заданных граничных точек «b3» вычисляет приращения функции нормального рас-

В строке 20 с помощью критерия 2 выполняется проверка гипотезы о соответствии эмпирических частот –– теоретическим для нормального закона распределения ( , ). Из данных в строке 23 вид-

В качестве иллюстрации в строках 24–25 выполняются построе-

ния гистограммы для вышеуказанной группировки выборочных дан-

ных и кривой плотности вероятности ( ) = 1 ( −8.34 ), которые

показаны на рис. 3.5.

1.89 1.89

Ещё одной удобной иллюстрацией к проверке гипотезы о нормальности распределения является квантиль-квантильный (Q–Q) график,

построение которого реализовано в строке 26 и показано на рис. 3.6.

Для построения Q–Q графика используется функция «qqnorm()», которая выполняет отображение выборочных данных на «нормальной вероятностной бумаге», где абсциссами являются теоретические, а ор- динатами–– эмпирические квантили выборочных данных. Теоретические квантили вычисляются в предположении, что параметры нормального распределения соответствуют их несмещённым точечным оценкам, то есть (8.34, 1.89). Функция «qqline()» добавляет к выборочным данным график функции нормального распределения

( ) = Φ( −8.34 ) + 1 , выглядящий в указанной системе координат

1.89 2

как прямая линия. При этом использованы два параметра: «pch=3»––

отображение выборочных точек символами «+»; «lty=2»–– отображе-

ние Q–Q графика ( ) штриховой линией.

Из приведённых иллюстраций видно, что отклонения эмпирических распределений выборочных данных от теоретических весьма незначительны, что согласуется с принятой нулевой гипотезой.

3.4.2. Критерии Колмогорова–Смирнова

Критерий согласия Колмогорова используется для проверки простой гипотезы о том, подчиняется ли данное эмпирическое распределение точно известной теоретической модели. Критерий однородности Смирнова предназначен для проверки гипотезы о том, подчиняются ли два эмпирических распределения одному и тому же закону.

Критерий согласия Колмогорова

Гипотезы: Проверяется нулевая гипотеза 0 : ( ) = 0( ) против альтернативной 1 : ( ) ≠ 0( ), где 0( ) –– теоретическая непрерывная функция распределения случайной величины , известная с точностью до своих параметров .

Статистика: Рассматривается так называемая статистика Колмогорова, соответствующая максимальному абсолютному отклонению эмпирической функции распределения ( ) от теоретической 0( )

= sup ( ) − 0( ) ,

| |<∞

где sup ––точная верхняя грань или супремум, обобщающий понятие максимума на случай любого упорядоченного множества .

В теореме Колмогорова доказывается, что при → ∞ случайная величина √ стремится по вероятности к распределению Колмогорова

Если объём выборки достаточно велик, то квантиль распределения Колмогорова можно приблизительно вычислить по формуле

≈ √−12 ln 2 .

Критерий: Если наблюдаемое значение статистики превосходит

на заданном уровне значимости квантиль распределения Колмогорова: √ > , то нулевая гипотеза на уровне значимости отвергается в пользу альтернативной 1 : ( ) ̸= ̸= 0( ). В противном случае говорят, что нулевая гипотеза0 : ( ) = 0( ) на уровне значимости согласуется с выборочными данными.

Пример 3.4. Для центрированной реализации выборки, использованной в предыдущем примере = − , с помощью критерия согласия Колмогорова проанализировать зависимость достигаемого уровня значимости от числа степеней свободы [2, 20] для нулевой гипотезы 0 : ( ) = 0( ) при альтернативной 1 : ( ) ≠ 0( ), где 0( ) –– теоретическая функция распределения Стьюдента с заданным числом степеней свободы .

1> source("samples.r")

2> x <- samples(n=100, seed=20100625)

3> m <- 2:20; v <- x - mean(x); w <- sort(v)

4> alpha <- sapply(m, function(k) ks.test(v, "pt", k)[[2]])

5> plot(m, alpha, type="b", pch=20, ylim=c(0, max(alpha, 0.05)))

6> abline(h=0.05, lty=2)

7 > windows(); plot(ecdf(v), pch=".", main="", xlab="", ylab="")

8> rug(v); lines(w, pt(w, m[which.max(alpha)]))

Назначение команд в строках 1–2 целиком аналогичны ранее указанным в примере 3.1. В строке 3 задаётся вектор числа степеней свободы «m», вычисляется центрированный вектор значений выборки «v» и проводится его сортировка по возрастанию «w». Далее в строке 4 с помощью композиции функций «sapply(...ks.test()[[2]])» для каждого значения числа степеней свободы «m» по критерию согласия Колмогорова вычисляются достигаемые уровни значимостидля нулевой гипотезы 0 : ( ) = 0( ) при альтернативной1 : ( ) ≠ 0( ), где 0( ) –– теоретическая функция распределения Стьюдента с заданным числом степеней свободы .

Далее в строках 5–6 с помощью функции «plot()» строится график зависимости ( ), на котором с помощью функции «abline()» горизонтальной «h=0.05» штриховой линией «lty=2» отмечается типичный уровень значимости, используемый при проверке гипотез.

В строках 7–8 с помощью композиций «plot(ecdf()...)», а также «lines(...pt())» строятся графики эмпирической функции распределения ( ) и теоретической функции -распределения 0( ) с числом степеней свободы = 2, соответствующим максимально достижимому уровню значимости «m[which.max(alpha)]».

Изучение графиков показывает, что с ростом числа степеней свободы теоретического распределения Стьюдента уровень значимости , достигаемый при проверке нулевой гипотезы 0 : ( ) = = 0( ) по критерию согласия Колмогорова падает, что на первый взгляд плохо согласуется со свойствами -распределения. Объяснение этого кажущегося несоответствия авторы предлагают читателю найти самостоятельно.

Критерий однородности Смирнова

Гипотезы: Проверяется нулевая гипотеза 0 : 1( ) = 2( ) против альтернативной 1 : 1( ) ̸= 2( ), где 1( ) и 2( ) –– неизвестные теоретические функции распределения, для оценки которых используются построенные по независимым выборкам объёмами и эмпирические функции распределения ( ) и

( ).

Статистика: Здесь также используется статистика Колмогорова, соответствующая максимальному абсолютному отклонению эмпирических функций распределения ( ) и ( )

, = sup ( ) − ( ) .

| |<∞

В теореме Смирнова доказывается, что при , → ∞ случайная

величина √ , стремится по вероятности к распределе-

+

нию Колмогорова

Критерий: Если наблюдаемое значение статистики превосходит

на заданном уровне значимости квантиль распределения

Колмогорова: √ , > , то нулевая гипотеза на данном

+

уровне значимости отвергается в пользу альтернативной1 : 1( ) ≠ 2( ). В противном случае говорят, что нулевая гипотеза 0 : 1( ) = 2( ) на уровне значимости согласуется с выборочными данными.

Пример 3.5. Для двух частей реализации выборки, использованной в примере 3.1: { } = { } { } , где = + –– объёмы полной и частичных выборок, с помощью критерия однородности Смирнова на уровне значимости = 0.05 проверить нулевую гипотезу 0 : 1( ) = = 2( ) при альтернативной 1 : 1( ) ≠ 2( ).

1> source("samples.r")

2> x <- samples(n=100, seed=20100625)

3> u <- x[1:49]; v <- x[50:100]; ks.test(u,v)

5data: u and v

6D = 0.1949, p-value = 0.2479

7alternative hypothesis: two-sided

Одновыборочный -критерий

Гипотезы: Проверяется нулевая гипотеза 0 : = против альтернативных 1: а) ≠ , б) < , в) > , где –– среднее значение; –– заданное постоянное значение.

Статистика: При проверке нулевой гипотезы используется статистика, которая имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы − 1

= − √ −1 ,

где 2 –– исправленная выборочная дисперсия.

Критерий: Если наблюдаемое значение статистики :

а) по модулю превосходит -квантиль распределения Стью-

2

дента с числом степеней свободы − 1: | | > , −1;

2

б) меньше -квантиля распределения Стьюдента с числом степеней свободы − 1: < , −1; в) больше (1 − )-квантиля распределения Стьюдента с чис-

лом степеней свободы − 1: > 1− , −1, то нулевая гипотеза0 : = на уровне значимости отвергается в пользу альтернативных 1: а) ̸= ; б) < ; в) > .

В противном случае говорят, что нулевая гипотеза на уровне значимости согласуется с выборочными данными.

Пример 3.6. Для реализации выборки, использованной в примере 3.1, проанализировать с помощью одновыборочного критерия Стьюдента зависимости для достигаемого уровня значимости от значе-

1> source("samples.r")

2> x <- samples(n=100, seed=20100625)

3> a <- mean(x); s <- sd(x)

4> a <- seq(a-s/2, a+s/2, length=99)

5> p <- sapply(a, function(aa) t.test(x, mu=aa, alter="two")[[3]])

6> pl <- sapply(a, function(aa) t.test(x, mu=aa, alter="le")[[3]])

7> pg <- sapply(a, function(aa) t.test(x, mu=aa, alter="gr")[[3]])

8 > plot(a, p, type="l"); lines(a, pl, lty=2); lines(a, pg, lty=4) 9 > abline(h=c(0,0.05), lty=3)

выборочные дисперсии.

Критерий: Если наблюдаемое значение статистики :

а) по модулю превосходит -квантиль распределения Стью-

2

дента с числом степеней свободы + − 2: | | > , + −2;

2

б) меньше -квантиля распределения Стьюдента с числом степеней свободы + − 2: < , + −2; в) больше (1 − )-квантиля распределения Стьюдента с числом

степеней свободы − 1: > 1− , + −2, то нулевая гипотеза0 : = на уровне значимости отвергается в пользу альтернативных 1: а) ̸= , б) < , в) > .

В противном случае говорят, что нулевая гипотеза на уровне значимости согласуется с выборочными данными.

Пример 3.7. Для двух частей реализации выборки, использованной в примере 3.1: { } = { } { } , где = + –– объёмы полной и частичных выборок, с помощью двухвыборочного -критерия Стьюдента на уровне значимости = 0.05 проверить нулевую гипотезу0 : = при альтернативных 1: а) ≠ , б) < , в) > .

1> source("samples.r")

2> x <- samples(n=100, seed=20100625)

3> u <- x[1:49]; v <- x[50:100]

4> t.test(u,v, var.equal=TRUE, alter="two")

6data: u and v

7t = -1.4731, df = 98, p-value = 0.1439

8 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 9 95 percent confidence interval:

10-1.3007923 0.1923783

11sample estimates:

12mean of x mean of y

138.060439 8.614646

14> t.test(u,v, var.equal=TRUE, alter="le")

15Two Sample t-test

16data: u and v

17t = -1.4731, df = 98, p-value = 0.07196

18alternative hypothesis: true difference in means is less than 0

1995 percent confidence interval:

20-Inf 0.07051633

21sample estimates:

22mean of x mean of y

238.060439 8.614646

24> t.test(u,v, var.equal=TRUE, alter="gr")

25Two Sample t-test

26data: u and v

27t = -1.4731, df = 98, p-value = 0.928

28alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0

2995 percent confidence interval:

31sample estimates:

32mean of x mean of y

338.060439 8.614646

Назначения команд в строках 1–2 соответствуют ранее указанным в примере 3.1. В строке 3 вычисляются частичные выборочные векторы { } и { } .

Функция «t.test()» в строках 4 , 14 и 24 по двухвыборочному-критерию Стьюдента вычисляет достигаемый уровень значимости для нулевой гипотезы 0 : = при альтернативных 1: а) ̸= , б) < , в) > .

В строках 7 , 17 и 27 показаны достигаемые уровни значимости для соответствующих пар нулевой и альтернативных гипотез: а) = = 0.1439, б) = 0.07196, в) = 0.928. Сравнение достигаемых уровней с заданным = 0.05 позволяет в случаях (а) и (б) сделать выводы об удовлетворительном, а в случае (в)–– о хорошем согласовании нулевой гипотезы с выборочными данными.

3.4.4. Фишера -критерий значимости различий

-критерий Фишера применяется для проверки гипотезы о равенстве дисперсий. Критерий Фишера может применяться как самостоятельно, так и перед проверкой гипотез о равенстве средних с помощью критерия Стьюдента. Если гипотеза о равенстве дисперсий принимается, то для сравнения средних можно выбрать более мощный критерий. Критерий Фишера основан на дополнительных предположениях о независимости и нормальности выборочных данных. Поэтому перед применением критерия Фишера необходимо проверить соответствующую гипотезу с помощью одного из критериев согласия.

дисперсии.

76 3. Основы математической статистики

Статистика: При проверке нулевой гипотезы используется статистика, которая имеет распределение Фишера с числом степеней

Критерий: Если наблюдаемое значение статистики :

В противном случае говорят, что нулевая гипотеза на уровне значимости согласуется с выборочными данными.

Пример 3.8. Для двух частей реализации выборки, использованной в примере 3.1: { } = { } { } , где = + –– объёмы полной и частичных выборок, с помощью -критерия Фишера на уровне

1> source("samples.r")

2> x <- samples(n=100, seed=20100625)

3> u <- x[1:49]; v <- x[50:100]

6[1] 4.339142

7> var.test(u,v)

10F = 0.6226, num df = 48, denom df = 50, p-value = 0.1015

11alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1

1295 percent confidence interval:

130.3538423 1.0990592

14sample estimates:

15ratio of variances

160.622582

17> var.test(u,v, alter="le")

18F test to compare two variances

19data: u and v

20F = 0.6226, num df = 48, denom df = 50, p-value = 0.05075

21alternative hypothesis: true ratio of variances is less than 1

2295 percent confidence interval:

230.000000 1.002103

24sample estimates:

25ratio of variances

260.622582

27> var.test(u,v, alter="gr")

28F test to compare two variances

29data: u and v

30F = 0.6226, num df = 48, denom df = 50, p-value = 0.9493

31alternative hypothesis: true ratio of variances is greater than 1

3295 percent confidence interval:

34sample estimates:

35ratio of variances

360.622582

Назначения команд в строках 1–2 соответствуют ранее указанным в примере 3.1. В строках 3–4 вычисляются частичные выборочные векторы { } и { } , а с помощью функции «var()»–– соответству-

Функция «var.test()» в строках 7 , 17 и 27 по -критерию Фишера вычисляет достигаемый уровень значимости для нулевой гипо-

тезы 0 : 2 = 2 при альтернативных 1: а) 2 ̸= 2, б) 2 < 2,

в) 2 > 2.

В строках 10 , 20 и 30 показаны достигаемые уровни значимости для соответствующих пар нулевой и альтернативных гипотез: а) = 0.1015, б) = 0.05075, в) = 0.9493. Сравнение достигаемых уровней с заданным = 0.05 позволяет в случаях (а) и (в) сделать выводы об удовлетворительном и хорошем, а в случае (б)–– о неудовлетворительном согласовании нулевой гипотезы с выборочными данными.

3.4.5. Однофакторный дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ предназначен для оценки влияния одного или нескольких факторов (качественных величин) на количественную случайную величину. В случае, когда рассматривается влияние только одного качественного признака, имеющего конечное число уровней градаций, дисперсионный анализ называется однофакторным.

Предположим, что одна и та же случайная величина с одинаковой точностью измеряется при различных значениях фактора. Если

анализируемый фактор оказывает существенное влияние на , то наблюдения на одном уровне будут значимо отличаться от наблюдений на других уровнях, и, следовательно, средние значения на разных уровнях будут различными. И наоборот, если фактор не оказывает влияние на рассматриваемую случайную величину, то средние значения на различных уровнях будут статистически незначимо отличаться друг от друга.

Представим результаты наблюдений в виде таблицы:

где –– уровни фактора; = 1, 2, . . . , –– номера наблюдений на -ом уровне; –– количество наблюдений на -ом уровне; –– наблюдаемые значения.

При проведении дисперсионного анализа предполагается выполнение следующих условий:

1.Результаты наблюдений –– это независимые случайные величины, то есть cov( , ) = 0, где ̸= и/или ̸= ;

2.Совокупности наблюдаемых значений { 1, 2, . . . , } на каж-

дом уровне нормально распределены: ( , ), где , 2 ––

среднее и дисперсия -го уровня;

3. Дисперсии распределений на всех уровнях = 1, 2, . . . , одина-

Гипотеза: С учётом выдвинутых условий формулируется нулевая гипотеза о равенстве средних всех уровней 0 : 1 = 2 = . . . = = при альтернативной, что хотя бы одно из указанных равенств нарушается 1 : ≠ , где ≠ .

Статистика: Рассмотрим следующие величины:

где –– средние значения -го уровня; –– общее среднее значение всех величин.

где –– сумма квадратов отклонений отдельных наблюденийот общего среднего ; –– сумма квадратов отклонений средних значений уровней от общей средней , которая характеризует различия между средними значениями отдельных уровней и определяется влиянием рассматриваемого фактора;–– сумма квадратов отклонений отдельных наблюдений от средних значений своего уровня , которая обусловлена наличием неучтённых факторов и называется остаточным рассеянием или суммой квадратов внутри групп.

Можно доказать, что имеет место равенство = + , причём, левая часть равенства имеет − 1 степень свободы, первое слагаемое в правой части –– ( − 1) степень свободы, а второе –– ( − ), и каждая сумма квадратов, делённая на соответствующее число степеней свободы, будет представлять несмещённую оценку дисперсии случайной величины . При этом,

ках гипотезы о равенстве средних значений уровней фактора,

то есть при отсутствии влияния исследуемого фактора на случайную величину . Тогда при согласии с нулевой гипотезой0 : 1 = 2 = . . . = статистика будет иметь распределение Фишера с числами степеней свободы числителя − 1, и знаменателя − :

Критерий: Гипотеза 0 принимается, если < , −1 , и отверга-

−

ется в противном случае, где , −1 –– квантиль уровня рас-

−

пределения Фишера с указанными выше числами степеней свободы.

Вышеуказанный выбор критической области > , −1 опреде-

−

ляется тем, что при выполнении альтернативной гипотезы 1 статистика неограниченно возрастает с ростом объёма выборки .

Пример 3.9. В ходе исследования были значения количественного признака для трёх различных уровней качественного признака (фактора). Используя методику однофакторного дисперсионного анализа, требуется определить: значимо ли влияние изменения качественного признака на величину признака количественного?

1> D = c(4.0,4.5,4.3,5.6,4.9,5.4,3.8,3.7,4.0)

2> B = c(4.5,4.9,5.0,5.7,5.5,5.6,4.7,4.5,4.7)

3> S = c(5.4,4.9,5.6,5.8,6.1,6.3,5.5,5.0,5.0)

4 > adhf = stack(data.frame(D,B,S)); adhf

5values ind

33> anova(lm(values ~ ind, data=adhf))

34Analysis of Variance Table

35Response: values

38Residuals 24 7.5978 0.31657

39---

40Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Встроках 1–3 вводятся векторы значений выборочных данных. Вектор «D» соответствует замерам количественного признака на пер-

вом, вектор «B»–– на втором, а вектор «S»–– на третьем уровне качественного признака.

Далее в строке 4 с помощью композиции «stack(data.frame())» формируется таблица исходных данных, показанная в строках 5–32 , а в строке 33 с помощью композиции «anova(lm())» проводится её дисперсионный анализ.

Для разделения столбцов значений на качественные признаки и количественные при проведении дисперсионного анализа используется запись вида «value~ind», где столбец «value» соответствует количественному вектору, а столбец «ind»–– качественному.

В строках 37–38 приведены данные по межгрупповым «ind» и внутригрупповым «Residuals» дисперсиям. Столбец «Df» содержит данные по числам степеней свободы, столбцы «Sum Sq» и «Mean Sq»–– данные по суммам квадратов отклонений и дисперсиям наблюдений, столбец «F value» содержит наблюдаемое значение -статистики, а столбец «Pr(>F)» –– вероятность того, что межгрупповая дисперсия не превышает внутригрупповую.

Как показывает анализ дисперсий, вероятность того, что изменение уровней качественного признака значимо влияет на величину количественного, составляет примерно 99.75%.

Контрольные вопросы

1.Что называют генеральной совокупностью?

2.Что такое выборка (выборочная совокупность)? Что называют объёмом выборки?

3.Что называют статистикой для заданной выборки?

4.Запишите определения эмпирических функций распределения и плотности распределения. Приведите примеры их графиков.

5.Напишите формулы для вычисления основных выборочных характеристик: среднего, дисперсии, ковариации, коэффициента корреляции.

6.Какую оценку называют точечной. Поясните содержание требований, предъявляемых к точечным оценкам (состоятельность, несмещённость, эффективность).

7.Какая точечная оценка является состоятельной, несмещённой и эффективной для математического ожидания генеральной совокупности?

823. Основы математической статистики

8.Какие точечные оценки для дисперсии генеральной совокупности являются смещёнными и несмещёнными? Являются ли эти оценки состоятельными?

9.Напишите формулы точечных оценок ковариации и коэффициента корреляции.

10.Что называют доверительной вероятностью и доверительным интервалом для неизвестного параметра ?

11.Какую статистику используют при построении доверительного интервала для параметра случайной величины ( , )? По какому закону распределена эта статистика?

12.Какую статистику используют при построении доверительного интервала для параметра 2 случайной величины ( , )? По какому закону распределена эта статистика?

13.Что такое статистическая гипотеза? Какие статистические гипотезы называют: основными или альтернативными, сложными или простыми?

14.Что называют статистическим критерием и его уровнем значимости при проверке статистической гипотезы?

15.В чем заключается ошибка первого рода? Что такое уровень значимости ( -уровень)?

16.Какое множество называют критическим? В чем заключается ошибка второго рода? Что называют мощностью критерия?

17.В чем состоит принцип двойственности при построении доверительных интервалов и проверке гипотез о значениях параметров распределения?

18.Какие статистические критерии называют критериями согласия?

19.Каким образом проверяется гипотеза о виде распределения непрерывной случайной величины по 2-критерию Пирсона?

20.Для проверки каких гипотез используются критерии Колмого- рова–Смирнова? Какую статистику используют эти критерии?

21.Какие статистические критерии называют критериями значимости различий?

22.Для проверки каких гипотез используются одно- и двухвыборочные -критерии Стьюдента? Какую статистику используют эти критерии?

23.Для проверки каких гипотез используется Фишера -критерий значимости различий? Какую статистику использует этот критерий?

24.Какие задачи являются объектом исследования в дисперсионном анализе?

25.В каком случае дисперсионный анализ называют одно- и многофакторным?

26.Каковы предпосылки однофакторного дисперсионного анализа?

27.Как формулируются основная и альтернативная гипотезы однофакторного дисперсионного анализа?