Глава 2

Сведения из теории вероятностей

В данной главе приведён краткий обзор основных понятий теории вероятностей, используемых затем в математической статистике и статистических методах обработки экспериментальных данных. Приводимые примеры демонстрируют использование этих понятий для решения прикладных задач на языке статистической обработки данных и программирования R [1]. Излагаемый материал не претендует на полноту и математическую строгость изложения и никоим образом не подменяет основных учебников по освещаемым темам [4–6].

2.1. Случайное событие и вероятность

В теории вероятностей понятие события является первичным и не определяется через другие более простые понятия. Для описания событий как результатов испытаний (также называемых опытами или наблюдениями) с неопределённым исходом используется понятие случайности. Под испытанием (или экспериментом) понимают любое наблюдение какого-либо явления, выполненное в заданном комплексе условий с фиксацией результата, которое может быть повторено (хотя бы в принципе) достаточное число раз.

Испытание, исход которого не может быть определён однозначно до проведения эксперимента, принято называть случайным.

Наряду с самим событием в рассмотрение вводится противоположное к нему событие , которое заключается в том, что событиене происходит.

Событие, которое при случайном испытании происходит всегда, называется достоверным и обозначается как Ω.

Событие, которое никогда не происходит, то есть является противоположным к достоверному, называется невозможным и обозначается как .

События и называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. Иначе говоря, такие собы-

тия никогда не происходят одновременно.

Пусть на рассматриваемом множестве событий определены следующие операции:

1.Сумма событий + –– событие, состоящее в том, что произойдёт хотя бы одно из событий: и/или ;

2.Произведение событий –– событие, состоящее в том, что произойдут оба события: и , и .

Событие эксперимента (испытания) считается элементарным , если его нельзя представить через другие события с помощью операций сложения и умножения.

Совокупность всех таких событий { 1, 2, . . . , } образует пространство элементарных исходов Ω:

Предполагается, что каждому возможному исходу в данном испытании, может быть сопоставлена неотрицательная числовая функция, такая что P { } = . Значения этой функции, выражающие меру возможности осуществления элементарного события , называется его вероятностью. При этом имеют место следующие свойства вероятности: P { } (0, 1), P { } = 0, P {Ω} = 1.

В рамках такого подхода любое событие , связанное с этим экспериментом, определяется как сумма элементарных исходов, а его ве- роятность–– как сумма вероятностей соответствующих элементарных исходов

P { } = ∑ P { } .

Для таких случайных событий справедливы два утверждения, называемых теоремами сложения вероятностей:

2.2.Условная вероятность и независимость событий

Если некоторое событие рассматривается не на всём пространстве элементарных исходов, а лишь на некоторой его части, где кроме осуществляется и другое событие , то имеет смысл использовать определение условной вероятности события , откуда следует

теорема умножения вероятностей:

Событие полагают не зависимым от , если P { | } = P { }. Иначе говоря, события и считаются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности другого события. Для независимых событий теорема умножения вероятностей принимает более простой вид

P { } = P { } P { } .

Это равенство часто рассматривают как определение независимости событий и .

Понятия независимости случайных событий и условной вероятности являются очень важными для математической статистики. Достаточно отметить, что многие свойства статистических оценок получаются именно в предположении независимости входящих в них случайных величин. А понятие условной вероятности используется при определении регрессионной модели.

2.3.Случайные величины и законы распределения

Случайная величина представляет собой однозначную действительную функцию, заданную на пространстве элементарных событий Ω. Каждая случайная величина задаёт распределение вероятностей на множестве своих возможных значений.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями этой случайной величины и соответствующими им вероятностями. Случайная величина считается заданной, если известен её закон распределения.

Наиболее общей формой закона распределения является функция распределения вероятностей случайной величины, определяемая равенством

( ) = P { < } .

Основные свойства функции распределения ( ):

1.Значения функции распределения ограничены интервалом:

0 6 ( ) 6 1;

2.Функция распределения–– неубывающая функция:

( 2) > ( 1), если 2 > 1;

3.Предельные значения аргумента соответствуют предельным значениям функции распределения: (−∞) = 0, (∞) = 1;

4.Вероятность события [ , ) равна приращению функции распределения на соответствующем интервале:

P { 6 < } = ( ) − ( ).

Взависимости от структуры множества возможных значений в практических задачах обычно различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретной называется случайная величина, множество возможных значений которой конечное или счётное. В качестве закона распределения дискретной случайной величины часто используют ряд распределения, записываемый в виде таблицы 2 × :

=1

Функция распределения дискретной случайной величины будет иметь разрывы первого рода (скачки), в точках, соответствующих значениям случайной величины (абсциссы скачков). Причем величины этих скачков будут равны вероятностям соответствующих значений (ординаты скачков).

Непрерывной называется случайная величина, имеющая непрерывную и дифференцируемую функцию распределения ( ).

В качестве закона распределения непрерывной случайной величины обычно используется функция плотности распределения вероятностей: