d ( ) . d

Основные свойства плотности распределения вероятностей ( ):

1.Плотность распределения вероятностей –– функция неотрицательная: ( ) > 0;

2.Плотность распределения удовлетворяет условию нормировки:

−∫∞∞ ( )d = 1 ;

3.Вероятность события [ , ] равна интегралу на соответствующем отрезке от плотности распределения:

P { 6 6 } = ∫ ( )d ;

4.Функция распределения равна несобственному интегралу от плотности распределения с переменным верхним пределом:

( ) =−∫∞ ( )d .

2.4.Многомерные случайные величины

Понятие случайной величины может быть обобщено на случай: системы случайных величин: = ( 1, 2, . . . , )T, где рассматривается как -мерный случайный вектор, а ( 1, 2, . . . , ) –– как система случайных величин, определённых на едином пространстве элементарных событий Ω.

Функция распределения -мерной случайной величины задаётся равенством

( 1, 2, . . . , ) = P { 1 < 1, 2 < 2, . . . , < } .

Случайный вектор называется непрерывным, если его функция распределения ( 1, 2, . . . , ) имеет смешанную частную производную -го порядка, которая называется плотностью распределения случайного вектора или совместной плотностью распределения системы случайных величин ( 1, 2, . . . , ):

( 1, 2, . . . , ) = ∂ ( 1, 2, . . . , ) . ∂ 1∂ 2 · · · ∂

Заметим, что свойства плотности вероятности -мерной случайной величины аналогичны свойствам плотности вероятности одномерной случайной величины.

Если рассмотрению подлежит только часть компонент вектора= ( 1, 2, . . . , )T, где < , то используется частная (маргинальная) функция распределения:

( 1, 2, . . . , ) = P { 1 < 1, 2 < 2, . . . , < } =

=P { 1 < 1, 2 < 2, . . . , < , +1 < ∞, . . . , < ∞} =

=( 1, 2, . . . , , ∞, . . . , ∞),

атакже частная (маргинальная) плотность распределения:

1,2,..., ( 1, 2, . . . , ) =

= ∫ · · · ∫ ( 1, 2, . . . , , +1, . . . , )d +1 · · · d ,

где интегрирование производится по всему множеству возможных значений переменных +1, . . . , .

Плотность распределения многомерной случайной величины , определённая при условии, что значения компонент +1, . . . , за-

Случайные величины 1, 2, . . . , называются (стохастически) независимыми, если функция их совместного распределения( 1, 2, . . . , ) представима в виде произведения функций распределения случайных величин:

( 1, 2, . . . , ) = ( 1) ( 2) · · · ( ) ,

или, в случае непрерывных случайных величин, аналогичным образом может быть записана их совместная плотность распределения:

( 1, 2, . . . , ) = ( 1) ( 2) · · · ( ) .

2.5.Числовые характеристики случайных величин

Описание случайной величины с помощью функции распределения ( ) является исчерпывающим, но для практических задач иногда оказывается излишне подробным. Бывает, что достаточно охарактеризовать конкретное свойство случайной величины с помощью некоторого числа, то есть перейти к её числовым характеристикам.

Для характеристики центра распределения значений случайной величины используется математическое ожидание. Математическим ожиданием (ожидаемым средним значением) дискретной случайной величины называется величина

M( ) = ∑ .

=1

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, заданной плотностью распределения, вычисляется как

∞

M( ) = ∫ ( )d .

−∞

Основные свойства математического ожидания:

1.Если = const, то M( ) = ;

2.Если = const, то M( ) = M( );

3.M( + ) = M( ) + M( );

4.Если , –– некоррелированы, то M( ) = M( ) M( ).

Для характеристики рассеяния значений случайной величины относительно центра распределения служит дисперсия, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания

D( ) = M( − M( ))2.

Можно показать, что верна универсальная формула дисперсии

D( ) = M( 2) − M( )2.

Для нахождения дисперсии дискретной случайной величины используют формулу

Дисперсия непрерывной случайной величины, заданной плотностью распределения, вычисляется по формуле

Основные свойства дисперсии:

1.Если = const, то D( ) = 0;

2.Если = const, то D( ) = 2D( );

3.Если , –– некоррелированы, то D( + ) = D( ) + D( ).

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии = √D( ).

Случайную величину называют центрированной, если её математическое ожидание равно нулю M( ) = 0. Для центрирования произвольной случайной величины служит формула = − M( ).

Случайную величину называют нормированной, если её дисперсия равна единице D( ) = 1. Для нормирования произвольной

случайной величины служит формула = .

Случайную величину называют стандартной, если её математическое ожидание равно нулю M( ) = 0, а дисперсия равна единице D( ) = 1. Для стандартизации произвольной случайной величины

служит формула = −M( ) .

Медианой 1 называется такое значение случайной величины ,

2

которое делит область её возможных значений на две равновероятные части. Формально, медиана определяется как решение уравнения

( 1 ) = 1 .

2 2

Обобщая данное уравнение, приходим к понятию квантиля

уровня : ( ) = . Квантили, делящие область возможных значений случайной величины на четыре равновероятные части, назы-

С геометрической точки зрения квантиль непрерывной случай-

ной величины есть такая точка на оси абсцисс, что площадь криволинейной трапеции, ограниченная графиком плотности распределения( ) и лежащая левее вертикальной прямой = , будет равна . С

другой стороны, квантиль по определению является корнем уравнения ( ) = , откуда следует, что квантиль–– это абсцисса = точки пересечения прямой = с графиком функции распределения

( ).

Для распределений, чья плотность является четной функцией (к примеру, центрированных равномерного и нормального распределений, распределения Стьюдента и тому подобных), квантили уровней (1 − ) и будут расположены симметрично относительно начала координат, то есть 1− = − .

Мерой взаимосвязи двух случайных величин и может служить коэффициент ковариации, определяемый по формуле

cov( , ) = = M(( − M( ))( − M( ))) =

= M( ) − M( )M( ).

Основным свойством коэффициента ковариации является его равенство нулю для независимых случайных величин и . Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Зависимость величины от масштаба изучаемых величин и делает неудобным её использование в практических приложениях. Поэтому для измерения связи между и обычно используют другую числовую характеристику , называемую коэффициентом корреляции

= .

Наиболее существенными являются следующие свойства коэффициента корреляции:

1.Коэффициент корреляции симметричен: = ;

2.Модуль коэффициента корреляции не превосходит единицы:

| | 6 1;

3.Модуль коэффициента корреляции равен единице | | = 1 только в том случае, когда случайные величины и связаны

линейной зависимостью;

4.Если случайные величины и независимы, то = 0, а если = 0, то говорят о некоррелированности случайных величин и ;

5.Величина коэффициента корреляции инвариантна относительно линейных преобразований.