Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2492.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

12.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Контрольная работа №4 для обучающихся по заочной форме

1. Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , построенные по векторам

a и b ?

2. Найти косинус угла между векторами AB и AC .

3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векто-

рах a и		.
	b
4. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках A1 ,			A2 , A3 ,
A4 и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1A2 A3 .
5. Дана сила F . Найти величину и направление силы F .			Какую

работу производит сила F , когда точка ее приложения, двигаясь пря-

молинейно, перемещается из точки А в точку В. Определить момент

силы F относительно точки В.

Вариант 1

1. a = {1,− 2,3};

= {3,0,−1};

= 2a + 4

;

c2 = −a + 3

A(1,− 2,3);B(0,−1,2);C(3,

− 4,5).

a = p + 2 q; b =

3 p − q

;

= 1;

= 2;

A1(1,3, 6); A2 (2, 2,1); A3 (−1, 0,1); A4 (− 4, 6, − 3).

B(1, 4, −1).

F{− 3, 1, − 2 }; A(− 3,1,0);

Вариант 2

a = {1,0,1};

= {− 2,3,5}; c1 = a + 2

; c2 = 3a −

A(0, − 3, 6); B(−12, − 3, − 3);C(− 9, − 3, − 6).

a = 3 p + 2 q; b = p − 2 q;

= 4;

= 1;

A1(− 4,2,6);

A2 (2,− 3,0);

A3(−10,5,8);

A4 (− 5,2,− 4).

F{ 4, −1, 2 };

A(− 4,−1,1);

B(−1,3, − 2).

Вариант 3

a = {− 2,4,1};

= {1,− 2,7};

c1 = 5a + 3

;

с2 = 2a −

A(3,3,−1);B(5,5,− 2);C(4,1,1).

a = p − 3q; b = p + 2 q;

;

= 1;

pq =

A1(7,2,4); A2 (7,−1,− 2); A3(3,3,1); A4 (− 4,2,1).

F{6, − 7, 2 }; A(− 3,−2,1);

B(−1,9,− 2).

Вариант 4	И

1. a = {1,2,− 3}; b = {2, −1, −1}; c1 = 4a + 3b; c2 = 8a − b.

A(−1,2,− 3);B(3,4,− 6);C(1,1,

−1).

a = 3 p − 2 q; b = p

+ 5q;

= 4;

; pq

Д2

A1(2,1,4); A2 (−1,5,

− 2);

A3(− 7,− 3,2);

A4 (− 6,− 3,6).

F{− 7, 1, − 2 }; A(−

5,1,0); B(− 2,3, −1).

Вариант 5

a = {3,5,4};

= {5,9,7}; c1 = −2a +

;

c2 = 3a − 2

A(− 4,− 2,0);B(−1,− 2,4);C(3,− 2,1).

3 π

a = p − 2 q; b = 2 p + q;

= 2;

= 3;

A1(−1,− 5,2); A2 (− 6,0,− 3); A3(3,6,− 3);

A4 (10,6,7).

5. F{ 2, 7, − 2 }; A(− 3, − 5,0); B(1,0, −1).

Вариант 6

a = {1,4,− 2};

= {1,1,−1}; c1 = a +

;

c2 = 4a + 2

A(5,3,−1);B(5,2,0);C(6,4,−1).

a = p + 3q; b = p − 2 q;

= 2;

= 3;

pq =

A1(0,−1,−1);

A2 (− 2,3,5); A3(1,− 5,− 9);

(−1,− 6,3).

5. F{5, −1, − 4 }; A(− 2, −1,5); B(1,6, −1).

Вариант 7

a = {1,− 2,5};

= {3,−1,0}; c1

= 4a −

;

= −2a +

A(− 3,− 7,− 5);B(0,−1,− 2);C(2,3,0).

a = 2 p − q; b = p + 3q;

= 3;

2; pq =

2 .

A1(5,2,0); A2

(2,5,0);

(1,2,4); A4 (−1,1,1).

B(1,6, − 2).

F{1, − 2, − 4 }; A(5,1,1);

Вариант 8

a = {3,4,−1};

= {2,−1,1}; c1 = 6a − 3

;

c2 = −2a +

A(2,− С4,6);B(0,− 2,4);C(6,− 8,10).

a = 4 p + q; b = p − q;

= 7;

= 2; p q

A1(2,−1,− 2);

A2 (1,2,1);

A3(5,0,− 6);

(−10,9,− 7).

5. F{− 7, 0, −1 }; A(−1, 4,6); B(−1, − 4, −1).

Вариант 9

a = {− 2,− 3,− 2};

= {1,0,5}; c1 = 3a + 9

;

c2 = −a − 3

A(0,1,− 2);B(3,1,2);C(4,1,1).

a = p − 4 q; b = 3 p + q;

= 1;

= 2;

pq =

A1(− 2,0,− 4); A2 (−1,7,1);

A3(4,− 8,− 4); A4 (1,− 4,6).

5. F{− 3, 1, − 5 }; A(− 4,3, − 2); B(−1, − 2,3).

Вариант 10

a = {−1,4,2};

= {3,− 2,6};

= 2a −

;

c2 = −6a + 3

A(3,2,−1);B(1,5,− 2);C(4,1,1).

a = p + 4 q; b = 2 p − q;

= 7;

= 2;

pq =

A1(14,4,5); A2 (− 5,− 3,2); A3(− 2,− 6,− 3);

A4 (− 2,2,−1).

5. F{5, 4, 3 }; A(− 2,б3,7); B(− 2,3, − 6).

СВариант 11

1.a = {5,0,−1}; b = {7,2,3}; c1 = 2a − b; c2 = −6a + 3b.

2.A(2,1,−1);B(6,−1,− 4);C(4,2,1).и

a = 3 p + 2 q; b = p − q;

= 10;

= 1;

A1(1,2,0); A2 (3,0,− 3);

A3(5,2,6);

A4 (8,4,− 9).

5. F{− 5, 2, − 3 }; A(− 6, − 4, −1); B(− 3, 4,7).

Вариант 12

a = {0,3,− 2};

= {1,− 2,1}; c1 = 5a − 2

;

c2 = 3a + 5

A(−1,− 2,1);B(− 4,− 2,5);C(−8,− 2,2).

a = 4 p − q; b = p + 2 q;

= 5;

= 4;

A1(2,−1,2);

A2 (1,2,−1);

A3(3,2,1);

A4 (− 4,2,5).

5. F{− 4, 5, − 2 }; A(− 5, 2,− 5); B(− 4,− 3, 5).

Вариант 13

a = {− 2, 7, −1};

= {− 3,5,2};

c1 = 2a + 3

;

3a + 2

A(6,2,− 3);B(6,3,− 2);C(7,3,

− 3).

a = 2 p + 3q; b = p − 2 q;

= 6;

= 7;

A1(1,1,2);

A4 (−1,0,−

2).

(−1,1,3);

A3(2,− 2,4);

F{− 2, 3,1

};

B( 1,3,−1).

A(−1,5,6);

Вариант 14

a = {3,7,0};

= {1,− 3,4}; c1 = 4a − 2

;

c2 = −2a +

A(0,0,4);B(− 3,− 6,1);C(− 5,−10,−1).

a = 3 p − q; b = p − 2 q;

= 3;

= 4;

A1(2,3,1);

A2 (4,1,− 2); A3(6,3,7);

A4 (7,5,− 3).

F{3, 1, − 4 };

A(− 3,8,1); B(− 8, 4, 7).

Вариант 15

a = {−1,2,−1};

= {2, − 7,1};

c1 = 6a − 2

;

c2 = −3a +

A(2,− 8,−1);B(4,− 6,0);C(− 2,− 5,−1).

a = 2 p + 3q; b = p − 2 q;

= 2;

= 3;

A1(1,1,−1);

A2 (2,3,1);

A3(3,2,1); A4 (5,9,− 8).

F{6, 3, − 2 };

A(− 5,3,− 6);

B(− 4,− 3,− 2).

Вариант 16

a = {7,9,− 2};

= {5,4,3};

= 4a −

; с2

= −a + 4

A(3,− 6,9);B(0,− 3,6);C(9,−12,15).

a = 2 p − 3q; b = 3 p + q;

= 4;

= 1;

A1(1,5,− 7);

A4 (− 4,8,−12).

A2 (− 3,6,3); A3(− 2,7,3);

F{6, 4, − 3

B(−7,3,− 2).

};

A(− 5,−

6,1);

Вариант 17

a = {5,0,− 2};

= {6, 4,3}; c1 = 5a + 3

; c2 = −10a + 6

A(0,2,− 4);B(8,2,2);C(6,2,4).

a = 5 p + q; b = p − 3q;

= 1;

2; pq

A1(− 3,4,− 7);

A2 (1,5,− 4);

A3(− 5,− 2,0);

A4 (2,5,4).

F{ 4, −1, 3 };

A(−1,−8,1);

B(−1,3,− 2).

Вариант 18

a = {8,3,−1};

= {4,1,3};

c1 = 2a −

; c2 = −4a + 2

A(3,3,−1);B(5,1,− 2);C(4,1,1).

a = 7 p − 2 q; b = p + 3q;

;

A1(−1,2,− 3);

A2 (4,−1,0);

A3(2,1,− 2);

A4 (3,4,5).

F{0, − 4, 2 };

A(− 3,−6,1);

B(−3,2,− 2).

Вариант 19

a = {3,−1,6};

= {5,7,10};

= 4a

− 2

;

c2 = −2a +

A(− 4,3,0);B(0,1,3);C(− 2,4,

− 2).

a = 6 p − q; b

= p + q;

= 3;

= 4; p q =

4 .

A1(4,−1,3);

(3,2,0).

A2 (− 2,1,0);

A3(0,− 5,1);

F{− 3,1, − 5

2);

B(−1, 2, 3).

};

A(−

4,5,−

Вариант 20

a = {1,− 2,4};

= {7,3,5}; c1 = 6a − 3

; c2 = −2a +

A(1,−1,0);B(− 2,−1,4);C(8,−1,−1).

a = 10 p + q; b = 3 p − 2 q;

= 4;

A1(1,−1,1);

A2 (− 2,0,3);

A3(2,1,−1);

A4 (2,− 2,− 4).

F{− 2, 8, − 3 };

A(− 4,0,− 2);

B(− 3,− 2,3).

Вариант 21

a = {3,7,0};

= {4,6,−1}; c1 = 3a + 2

;

c2 = 5a − 7

A(7,0,2);B(7,1,3);C(8,−1,2).

a = 6 p − q; b = p + 2 q;

= 8;

; pq

A1(1,2,0);

A2 (− 2,0,3);

A3(2,1,−1);

A4 (2,− 2,− 4).

5. F{−1, 3, − 6 }; A(−8,7,− 2); B(− 5,2,− 3).

Вариант 22

a = {− 2,−1,4};

= {3,− 7,− 6};

c1 = 2a

− 3

;

c2 = 3a − 2

A(2,3,2);B(−1,− 3,−1);C(− 3,− 7,− 3).

a = 3 p + 4 q;

b = − p + q;

= 2,5;

= 2;

p q

A1(1,0,2);

A4 (2,1,0).

(1,2,−1);

A3(

2,− 2,1);

F{− 3,1, 7

};

A(−

4,−1,− 2); B(4,− 5,− 2).

Вариант 23

a = {5,−1,− 2};

= {6,0,7};

c1 = 3a − 2

; c2 = −6a + 4

A(2,2,7);B(0,0,6);C(− 2,5,7).

3π

a = 7 p + q; b = p − 3q;

= 3;

1; pq

A1(1,2,− 3); A2 (1,0,1);

A3(

− 2,−1,0);

A4 (0,− 5,− 4).

5. F{4, 3, − 9 }; A(− 4,2,− 2); B(− 4,− 2,− 5).

Вариант 24

a = {− 9,5,3};

= {7,1, − 2}; c1 = 2a −

; c2 = 3a + 5

A(−1,2,− 3);B(0,1,− 2);C(− 3,4,− 5).

2π

a = p + 3q; b

= 3 p − q;

= 3;

= 5; pq

A1(3,10,−1);

A2 (− 2,3,− 5);

A3(− 6,0,− 3);

A4 (1,−1,2).

F{− 3, 6, −8 };

A(− 2,1,− 2);

B(− 6,− 4,3).

Вариант 25

a = {4,2,9};

= {0,−1,3};

= −3a

+ 4

;

4a −

A(0,3,− 6);B(9,3,6);C(12,3,3).

a = 2 p + q; b

= p − 3q;

= 7;

= 2;

A1(−1,2,4);

A3(3,0,−1);

(7,− 3,1).

A2 (−1,− 2,

−

4);

F{− 7, 4, − 3

2);

B(− 3,− 7,3).

};

A(−8,2,−

Образец решен я контрольной работы для обучающихся по заочной форме

1. Коллинеарны ли векторы c1 и c2 , построенные по векторам a

и b ?

a = {2,3, 1}; b = {4,0, 2}. c1 = 3 a − b; c2 = 2 a + 3 b.

Решение. Найдём координаты c1 и c2 :

c1 = 3 {2,3,1}−{4,0,2}= {6,9,3}−{4,0,2}= {2,9,1}; c2 = 2 {2,3,1}+ 3 {4,0,2}= {4,6,2}+{12,0,6}= {16,6,8}.

Векторы c1 и c2 коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Составим пропорции

162 ≠ 96 ≠ 18 или 18 ≠ 32 ≠ 18 c1 и c2 не коллинеарны. Ответ: не коллинеарны.

2. Найти косинус угла между векторами AB, AC .

A(2,−1,3); B (3,1,4); C (− 2,3,0).

Решение. Найдём координаты векторов AB, AC . Для этого из коо р- динат конца нужно вычесть координаты начала.

AB = {3− 2; 1− (−1); 4 − 3}= {1;2;1};

AC = {− 2 − 2; 3 − (−1); 0 − 3}= {− 4;4;− 3}.

Теперь используем формулу cosδ =

Считаем:

1 Д1

= 1 (− 4)

+ 2 4

+1 (− 3) = −4 + 8 − 3 = 1

;

+ 22 +12

;

(− 4)2 + 42 + (−

3)2

;

16 +16 + 9

cosδ =

246

Ответ: cosδ

246

3. Вычислить площадьипараллелограмма, построенного на век-

торах a и b :

a = p + 3 q; b = p − q; p =

2; q = 3; p,q = π .

Решение. Используем формулу площади параллелограмма

Sпар = a × b .

Ищем a × b:

a ×b = ( p + 3 q )×( p − q ) = p × p − p × q + 3 q × p − 3 q × q =

(учтем то, что p × p = 0; q × q = 0; p × q = −q × p )

= q × p + 3 q × p = 4 q × p .


a ×	b	= 4	q × p	= 4	p	q	sin p,q =

= 4 2 3 sin π6 = 4 2 3 12 = 12.

Ответ: площадь равна 12 квадратным единицам.

Вычислить

объём

тетраэдра

вершинами

точках

A1, A2 , A3, A4

и его высоту, опущенную на грань A1A2 A3 .

A1(0,1, 2); A2

(3,1, −1);

A3 (2,1, 4);

A4 (2, −

2, 2).

Решение. Ищем координаты векторов:

A1A2

= {3,0, − 3};

= {2, 0, 2};

A1 A3

= {2, − 3,0}.

A1A4

− 3

(18 +18)

A A A A A A

2 0

= 6(ед

пир

С1 2 1 3

1 4

− 3

С другой стороны,

= 1 S

H .

(1)

Найдём

пир

осн

= 1

= S

осн

∆A A A

A A


	1	i		j	k		1		0	− 3		3	− 3			3	0
		i		j	k
=		3	0		− 3	=
											− j			+ k				=
								i	0	2	− j	2	2	+ k		2	0	=
	2	2	0		2		2		0	2		2	2			2	0
	1	2	0		2				1						1		12 = 6(ед.2 ).

										02 + (−12)2 + 02 =
=		0 i −12 j + 0 k						=
=	2	0 i −12 j + 0 k						=	2						2
	2								2						2

Подставляем в формулу (1):

	6 =	1 6 H;
		3
	H = 3(ед.).
Ответ: V = 6 (ед3.);	H = 3(ед.).
5. Дана сила F ,	точки А и В: F{0, −1, − 4 }; A(−1,3,1);
B(2,5, − 3).		Д
B(2,5, − 3).

а) Какую работу производит сила F , когда точка ее приложения,

двигаясь прямолинейно, перемещается из точкиИА в точку В?

б) Определить момент силы F относительно точки В.

Решение. а) Работа силы равна скалярному произведению вектора си-

лы F на вектор перемещения

А= {2 +1; 5 − 3; − 3 −1}= {3; 2; − 4}.

Находим работу:

А=

= 0 3 + (−1) 2 + (−4) (−4) = 0 − 2 +16 = 14 .

б) Момент силы

F , приложенной к точке А относительно точки

В, это вектор,Сравный векторному произведению вектора перемеще-

ния

= {− 3; − 2; 4} на вектор силы F :

F 0 =

− 3 − 2

0 −1

− 4

= i (8 + 4) − j (12 − 0) + k (3 − 0) = 12i −12 j + 3k .

Ответ: А=14;

=12i −12 j + 3k .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.202112.38 Mб62488.pdf
#
07.01.202112.4 Mб972489.pdf
#
07.01.2021371.26 Кб4249.pdf
#
07.01.202112.58 Mб92490.pdf
#
07.01.202112.85 Mб142491.pdf
#
07.01.202112.89 Mб122492.pdf
#
07.01.202112.89 Mб212493.pdf
#
07.01.202113.06 Mб192494.pdf
#
07.01.202113.16 Mб402495.pdf
#
07.01.202113.16 Mб192496.pdf
#
07.01.202113.16 Mб222497.pdf