Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2492.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

12.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Требования к экзамену по разделу «Векторная алгебра»

Необходимо уметь:

1. Производить действия (складывать, вычитать, находить проекции и пр.) с геометрическими векторами.

2. Производить действия (складывать, вычитать, находить длину и пр.) с векторами при известных координатах.

3.	Находить длину, орт, направляющие косинусы вектора.
4.	Вычислять скалярные, векторные, смешанные произведения
векторов.
5.	Находить углы между векторами.
6.	Находить расстояния между точками, площадь треугольника,

площадь параллелограмма, объем параллелепипеда, объем пирамиды,

высоту треугольника, высоту пирамиды, решать геометрические задачи.
1.		И		с векторами, их
	Понятие вектора, арифметические операции
свойства.		Д
2.
	Проекция вектора на ось, основная теорема о проекциях.
3.	Базис и координаты вектора на плоскости и в пространстве,
действия с векторами в координатнойАформе записи.
4.	Орт и коорд наты вектора.
5.	Скалярное про зведениебвекторов, его		основные свойства,
критерий перпенд кулярности, использование.
6.	и
	Вычисление скалярного произведения через координаты век-
торов.
7.	Векторное произведение векторов, его основные свойства,
	С
критерий коллинеарности, использование.
8.	Вычисление векторного произведения через координаты век-
торов.
9.	Смешанное произведение векторов,		его	геометрический

смысл, вычисление, использование.

10. Вычисление смешанного произведения через координаты векторов.

Библиографический список

1.Шипачев, В.С. Высшая математика /В.С. Шипачев. − М. : Высшая школа, 2012 . − 479 с.

2.Карасева, Р.Б. Высшая математика дистанционно : учеб. по-

соб. / Р.Б.Карасева. − Омск : СибАДИ, 2008. − Ч. 1. −148 с.

3.Карасева, Р.Б. Тесты по математике : учеб. пособ. / Р.Б. Карасева, Е.Ю. Руппель [и др.]. − Омск : СибАДИ, 2013. −109 с.

4.Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной

алгебры : учебник для вузов /Д.В. Беклемишев. − М. : Наука, 1984. − 256 с.

5. Карасева, Р. Б. Математика [Электронный ресурс] : практи-

fulltext/esd94.pdf. – Загл. с экрана (дата обращения к ресурсу:

кум для студентов технических направлений заочной формы обучения / Р. Б. Карасева, С. В. Матвеева, Е. Ю. РуппельИ. – Электрон. дан. –

24.10.2016).

Омск : СибАДИ, 2016. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/ Д

6. Карасева, Р. Б. Математика: линейная алгебра, векторная

Электрон. дан. – Омск : АСи ДИ, 2016. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/fulltext/esd106.pdf.и – Загл. с экрана (дата обраще-

алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ,

дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной [Электронный ресурсб] : учебное пособие / Р. Б. Карасева. –

ния к ресурсу: 24.10.2016). С

Приложение 1

Операции над векторами

1. Сложение: a + b :

a + b

a +

2. Вычитание: a −

= a +

(−b

3. Умножение на число λ a , a ≠

λ a

;

↑↑ a ;

λ >

λ a

λ <

λ a ↑↓ a .

λa

λ > 0

λ < 0

4. Линейная комбинация векторов

a1,a2 , ,an

с коэффициента-

ми λ1, λ2 , , λn :

вектор λ1a1 + λ2a2 + + λnan .

на ось

Проекция вектора а = АВ

Ось

В1

А1

а)

− геометрическая проекция вектора

на ось

A1B1

, если A1B1 ↑↑U;

б)

число

Пр

AB =

– алгебраическая

−

A1B1

, если A1B1 ↑↓U

проекция AB на ось U .

									Приложение 2
			Базис и координаты
1. Базис на плоскости – любые два неколлинеарные вектора:
			e1
				e2
Стандартный базис на плоскости – (i , j) :							i	= j	=1, i j :
			j
				i
2. Базис в пространстве − это любые три некомпланарные векто-
ра в пространстве.						И
			e3			И
			e3		e2
					Д
			e1	А
Стандартный баз сбв пространстве						−	i ,	j, k :	i = j = k = 1;
i j k .		и
		и
	С			k
			i
					j
					j
3. Координаты вектора.				Если e1, e2 , e3 − базис в пространстве,
то a = λ1 e1 + λ2		e2 + λ3 e3 = (λ1, λ2 , λ3 ).				(λ1, λ2 , λ3 )− координаты a в
базисе (e1, e2 , e3 ).
				77

Приложение 3

Действия с векторами в координатной форме записи

Сумма векторов – это вектор с координатами

если а = (x1, y1, z1 );

a + b = (x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ),

b = (x2 ,

y2 , z2 ).

Умножение вектора на число λ :

λ a = (λ x; λ y; λ z).

Длина вектора a = (x, y, z):

a = x2 + y2 + z2 .

Координаты вектора AB:

AB = ((x2 − x1 ); (y2 − y1 ); (z2 − z1 )),

A = (x1,

y1, z1 );

B = (x2 , y2 , z2 ) − две точки.

Орт вектора a

: вектор

о , имеющий то же направление, что

и a , и модуль,

равный 1:

иа о =

а ,

а о =1;

а о ↑↑ а .

y, z):

Координаты орта вектора а = (x,

а)

;

а о =

+ y

+ z

+ y

+ z

+ y

+ z

б)

a o = (cosα, cos β, cosγ ),

т.е. координаты орта равны направ-

ляющим косинусам.

Основное свойство направляющих косинусов вектора:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

Приложение 4

Произведение векторов

Скалярное произведение векторов

1. Скалярное произведение векторов a и b – число

а b = a b cos(a,b)

или a b = a (проекция b на a )= b Прba = a Прa b .

2.Критерий ортогональности ( ) векторов: a b a b = 0 .

3.Основное использование:

а)

a a =

2 ;

− нахождение длины вектора;

a a

a b

б) cos(a,

− нахождение угла между векторами.

Вычисление скалярного произведения: a

= x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ,

если a = (x1, y1, z1 ) и

= (x2 , y2 , z2 ).

Векторное произведение векторов

1. Векторное

произведение векторов

– вектор

c = a ×

(c = [a,b])

со свойствамиА:

sin (a

)б− дл на векторного произведения;

2) с a, c

− вектор с перпендикулярен плоскости векторов

a и

;

с расположен по отношению к векторам a

так же, как

ось OZ к осям OX и OY .

2.Критерий коллинеарности: a || b a × b = 0 .

3.Основное использование:

а) Sпар = a × b – вычисление площади параллелограмма;

б) S∆ = 12 a × b – вычисление площади треугольника.

Окончание прил. 4

4. Вычисление векторного произведения векторов:

a ×

если a = (x1, y1,

z1 ) и

= (x2 , y2 , z2 ).

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов a,

, c – число (a ×

) c .

Критерий компланарности:

векторы a,

, c

компланарны

тогда

ДИ

век-

торах a,

, c ;

б) V

= 1

– объём пирамиды, построенной на векторах

пир

, c .

4. Вычислен е смешанного произведения векторов через их ко-

ординаты:

где a = {xa ,

ya ,

za };

= {xb ,

yb , zb };

c = {xc , yc , zc }

− координаты

векторов.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.202112.38 Mб62488.pdf
#
07.01.202112.4 Mб972489.pdf
#
07.01.2021371.26 Кб4249.pdf
#
07.01.202112.58 Mб92490.pdf
#
07.01.202112.85 Mб142491.pdf
#
07.01.202112.89 Mб122492.pdf
#
07.01.202112.89 Mб212493.pdf
#
07.01.202113.06 Mб192494.pdf
#
07.01.202113.16 Mб402495.pdf
#
07.01.202113.16 Mб192496.pdf
#
07.01.202113.16 Mб222497.pdf