§6. Смешанное произведение векторов

V

= 1

a

c

.

b

пир

6

Теорема (выражение смешанного произведения векторов

через их координаты).

xa

ya

za

a

c=

xb

yb

zb

,

b

xc

yc

zc

где a = {xa , ya , za };

= {xb ,

yb ,

zb }; c = {xc ,

yc ,

zc }

−

координаты

b

векторов.

Доказательство.

По определению, a

c = a (

× c).

b

b

По теореме § 5

yb

zb

−

xb

zb

+

xb

yb

.

b

j

k

× c = i

y

c

z

c

x

c

z

c

x

c

y

c

И

По теореме § 4

Д

yb

zb

xb

zb

xb

yb

xa

ya

za

a (b × c )= x

− y

=

x

y

z

.

yc

zc

А+ z

xc

yc

a

a

xc

zc

a

b

b

b

xc

yc

zc

б

иКритерий компланарности

Векторы a,

, c

компланарны тогда и только тогда, когда a

c = 0.

b

b

С

2

−1

−1

3 −1

1 −1

1 3

a

c =

= 26 + 5 + 2 = 33.

1 3 −1

= 2

+1

−1

b

1

1

4

1

4

1

4

1

1

2. Показать, что векторы a = 2i

+ 5 j + 7k ;

b = i

+ j − k;

+ 2 j + 2 k компланарны.

с = i

Решение. Находим смешанное произведение векторов:

2

5

7

1 −1

1 −1

1 1

a

c =

= 8 −15 + 7 = 0.

1 1 −1

= 2

− 5

+ 7

b

1

2

2

2

2

1

2

1

2

Так как a

c = 0, то векторы компланарны.

b

3. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами A(2, 2, 2);

B(4, 3, 3); C(4, 5, 4); D(5, 5, 6).

И

Решение. Найдём векторы

,

, совпадающие с ребрами пи-

AB

AC,

AD

б

рамиды (все векторы должны исходитьДиз одной точки).

и

AB

= {2, 1, 1}= a;

AC

=А{2, 3, 2}=

b

;

AD

= {3, 3, 4}= c.

Так как V

= 1

a

c

, найдём смешанное произведение

b

пир

6

2

1

1

3 2

2 2

2 3

a

c =

= 2 6 −1 2 −1 3 = 7.

2 3 2

= 2

−1

+1

b

С

3

4

3

4

3

3

3

3

4

V

= 1 7 = 7 (ед.3 ).

пир

6

6

4. Вычислить (a −

)(

− c )(c − a ).

b

b

Решение. Так как

(a −

)+ (

− c )+ (c − a ) = 0 ,

то эти векторы компла-

b

b

2.

Найти

смешанное

произведение векторов

− j + k ;

a = i

b

= i

+ j

+ k ; c = 2i

+ 3 j + 4k .