Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
(СибАДИ)»
Р.Б. Карасева
ВЕКТОРНАЯСибАДИАЛГЕБРА
Учебно-методическое пособие
Омск ♦ 2016
УДК 514:742 ББК 22.151.51 К21
Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция маркировке не подлежит.
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доц. О.В. Гателюк (Омский государственный университет путей сообщения);
канд. физ.-мат.наук А.С. Толстуха (Омский государственный университет)
Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве учеб- но-методического пособия.
К21 Векторная алгебра [Электронный ресурс] :учебно-методическое пособие /Р.Б.
Карасева. – Электрон. дан. − Омск : СибАДИ, 2016. - URL: http://bek.sibadi.org/cgi-bin/ irbis64r_plus/cgiirbis 64 ft.exe. - Режим доступа: для авторизованных пользователей.
Содержит теоретический и справочный материал раздела «Векторная алгебра» дисциплины «Математика» при обучении студентов экономических, технических, строительных направлений бакалавриата и специалитета для всех форм обучения.
Карасева, РиммаСибАДИБорисовна.
Содержит примеры решения задач, а также вопросы для самопроверки, контроль-
ные работы, тестовые задан я.
Имеет интерактивное оглавлен е в виде закладок. Содержит видеофрагменты обучающего и демонстрац онного характера, которые воспроизводятся с помощью проиг-
рывателя Windows Media.
Может быть полезно также магистрам, аспирантам и преподавателям математики технических вузов.
Работа выполнена на кафедре «Высшая математика».
Мультимедийное издание (12,5 МБ)
Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; DVD-ROM ;
1 ГБ свободного места на жестком диске ; программа для чтения pdf-файлов
Adobe Acrobat Reader; Google Chrome ; Windows Media Player, колонки
Редактор И.Г. Кузнецова
Техническая подготовка − Т.И. Кукина Издание первое. Дата подписания к использованию 14.11.2016
Издательско-полиграфический центр СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПЦ СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1
© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2016
Введение
Векторная алгебра – раздел векторного исчисления, изучающий свойства линейных операций над векторами. В приложении к аналитической геометрии исследуются геометрические свойства векторов и их совокупности.
Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831 г.). Гамильтон, изучая кватернионы, в частности, предложил термин «вектор» (лат. vector – несущий) и описал некоторые операции векторного анализа. Математический аппарат векторной алгебры использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму. Современный
вид векторная алгебра приобрела в трудах Гиббса (1880-е гг.) и Хевисай- |
|
да (1903 г.). В ХХ в. возникли |
И |
векторные алгебры (напри- |
|
мер, кватернионов, сплит-кватернионов), которые привели к революции в
векторной алгебры исследуются движение и взаимодействие материальных тел.
физике, став основой математической модели специальной теории относительности. В аналитической и теоретическойДмеханике на базе законов
Учебно-методическое пособие «Векторная алгебра» предназначено для обучающихся экономических, технических, строительных направле-
«Скалярное произведен е векторовб», «Векторное произведение векторов»,
ний бакалавриата и специалитета. |
|
|
и |
Пособие состоит из 6 параграфовА: «Понятие вектора и основные оп- |
|
ределения», «Базис |
коорд наты», «Орт и направляющие косинусы», |
С |
|
«Смешанное произведен е векторов». В каждом параграфе представлен необходимый теоретический материал, который сопровождается большим числом примеров решения задач по изучаемым темам. Пособие содержит задачи для самостоятельного решения с ответами, четыре контрольные работы, тестовые задания, вопросы и задания для самопроверки, которые могут использоваться преподавателями для аттестации обучающихся и обучающимися для подготовки к экзамену. К контрольной работе для обучающихся по заочной форме приведен образец решения контрольной работы.
Необходимый теоретический материал дополнительно приводится в приложениях. Кроме того, имеются требования к экзамену.
3
§1. Понятие вектора и основные определения
Геометрическим вектором называется направленный линейный отрезок, у которого один конец (точка А ) – начало, другой конец (точка В ) – конец (рис. 1).
Обозначение: a , AB .
а A B
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
Длина вектора |
|
a |
|
|
|
|
И |
|
, |
|
AB |
|
– это расстояние между его началом и |
концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется ну-
левым, обозначается |
|
; |
|
|
|
|
= 0. Нулевому вектору приписывают лю- |
|||||
0 |
|
|
0 |
|
||||||||
бое направление. Все нулевые векторы считаются равными. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
||||
Векторы называются коллинеарными, если они расположены |
||||||||||||
на параллельных прямых. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Два вектора a и b |
б |
|||||||||||
называются равнымиД, если |
||||||||||||
– они равны по длине |
|
a |
= |
|
b |
|
; |
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
– коллинеарны; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– сонаправлены.
аb
С |
Рис. 2 |
Такие векторы называются свободными (рис. 2).
Понятие вектора возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся величиной и направлением, например: перемещение, скорость, напряженность электрического или магнитного поля.
4
Арифметические действия с векторами |
|
|||||||
1. Сложение. Суммой a + b векторов a и b называется вектор, |
||||||||
проведенный из начала a к концу b , если конец a |
и начало b со- |
|||||||
вмещены (прил. 1). Операция сложения векторов обладает свойства- |
||||||||
ми: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + b = b + a (коммутативность); |
|
|
|||||
|
(a + b)+ с = a + (b + с ) (ассоциативность); |
|
||||||
|
a + 0 = a (наличие нулевого вектора); |
|
||||||
|
a + (− a ) = 0 (наличие противоположного элемента), |
|||||||
где (− a ) есть вектор, противоположный a . |
|
|
|
|||||
Разностью a − b = x векторов a и b |
называется такой вектор |
x , |
||||||
который удовлетворяет условию x + b = a |
|
И |
|
|
||||
(рис. 3). |
|
|
||||||
а |
|
|
|
Д |
|
|
||
|
|
А |
а |
|
b |
|
||
|
a + b |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
б |
|
|
a + b |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
б |
|
|
и |
Рис. 3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Умножение на число. |
Произведением λ a вектора a ≠ 0 |
на |
||||||
С |
|
|
|
|
|
|
a , |
|
число λ ≠ 0 называется вектор, модуль которого равен λ a = λ |
||||||||
и который направлен в ту же сторону, что и вектор a , если λ > 0 , и в |
||||||||
противоположную, если λ < 0. Если λ = 0 или a = 0 , то λ a = 0 . |
|
|||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ a |
= λ a ; |
|
|
|
|
|
|
|
λ > 0 λ a ↑↑ a ; |
|
|
||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
λ < 0 λ a ↑↓ a .
Операция умножения вектора на число обладает свойствами:
λ (a + |
|
)= λa+ λ |
|
|
(дистрибутивность относительно |
||||||||||||||||||
b |
b |
||||||||||||||||||||||
сложения векторов); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(λ + µ)a = λ a + µ a |
|
(дистрибутивность |
относитель- |
||||||||||||||||||||
но сложения чисел); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ(µ a )= (λµ)a (ассоциативность); |
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 a = a (умножение на единицу). |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пусть a1,a2 , ,an |
− векторы; λ1, λ2 , , λn − числа. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
||||||
Вектор λ1a1 + λ2a2 + + λnan |
называется линейной комбина- |
||||||||||||||||||||||
цией векторов a ,a , ,a |
|
с коэффициентами λ , λ , , λ . |
|||||||||||||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
А |
И1 2 |
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Проекция вектора на ось |
|
|
|
|||||||||||||||
Дан вектор а = |
|
|
|
|
бВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
АВ |
|
и направленный отрезок или луч |
U |
– ось. |
|||||||||||||||||||
Спроектируем вектор АВ на U и получим вектор |
А1В1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
и |
а |
|
|
|
|
|
|
|
Ось |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В1 А1
Рис. 4
A1B1 − геометрическая проекция вектора AB на ось U (рис. 4).
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1B1 |
|
, если |
A1B1 ↑↑U; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Число |
Пр |
|
|
|
AB = |
|
|
|
|
– |
алгебраическая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
|
A1B1 |
|
, если A1B1 ↑↓U |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проекция |
|
|
|
|
на ось |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
AB |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Теорема (основная теорема о проекциях). Пусть а1,а2 , ,аn − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторы; λ1, λ2 , , λn − числа; |
|
− ось. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПрU |
(λ1а1 + λ2а2 + + λnаn ) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= λ1ПрU |
а1 + λ2 ПрU |
а2 + + λn ПрU |
аn . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Следствия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1. ПрU |
(a + |
|
|
)= ПрU |
a + ПрU |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
Д |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. ПрU |
(λ |
a |
)= λ ПрU |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример. |
В треугольникеАABC сторона AB точками M и N |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разделена на три равные части: |
|
AM |
|
|
= |
|
MN |
|
= |
|
NB |
|
. |
Найти вектор |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
, если |
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
СM |
CА |
a |
CB |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
( |
|
− a ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Имеем AB = b − a AM = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
СM |
CA |
|
AM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
− a )= |
(2 a + |
|
) |
= 2 a + |
1 |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a + |
|
b |
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CM |
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вопросы и задания для самопроверки [2,3,5,6]
1.Что называется геометрическим вектором?
2.Что называется длиной геометрического вектора?
3.Какие векторы называются одинаково направленными?
4.Какие векторы называются коллинеарными?
7