4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ РАБОЧЕГО ОРГАНА

Поиск решения задачи оптимизации конфигурации контактной поверхности рабочего органа производим при помощи метода математического анализа – метода вариационного исчисления.

В настоящее время вариационные методы являются одним из мощ-

ных средств анализа самых разнообразных задач. Наиболее интенсивно вариационные подходы использовались в задачах об упругом поведении конструкц й, особенно в задачах оптимального проектирования. Интерес к этим задачам ус л лся в связи с быстрым развитием авиационной и космической техн ки, судостроения, где чрезвычайно важно решение проблемы сн жен я веса конструкции без ущерба для ее прочности и аэродинам ческ х свойств. Вариационный подход к решению задач об

устойчивости, равновес и коле аниях упругих конструкций позволил

сформул ровать ряд пр кладных теорий, позволяющих с успехом осуществлять расчет самых разноо разных конструкций.

Суть метода состо т в отыскании экстремальных значений функционалов – переменных вел чин, зависящих от выбора одной или нескольких

функций. Вар ац онная задача означает, как правило, нахождение функции, удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, (бесконечно малые) возмущения которой не вызывают изменения функционала по крайней мере в первом по-

рядке малости. Также вариационной задачей называют тесно связанную с этим задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума (во многом эта задача сводится к первой, иногда практически полностью). Обычно при таком употреблении терминов подразумевается, что задача решается методами вариационного исчисления.

Общая задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы среди

всех непрерывных кривых y = y (x), соединяющих две точки P1 (x1, y1) и

P2 (x2, y2) плоскости имеющих непрерывно поворачивающиеся касательные, найти такую, для которой не обращающийся в бесконечность инте-

x2 d y

Л. Эйлер опубликовал теорему, ставшую основой всего вариационного исчисления: всякая функция y, обращающая в минимум или максимум интеграл J, должна удовлетворять дифференциальному уравнению

d

d x fy fy .

92

Ж. Лагранж обобщил полученные ранее результаты на случай (n + 1)-мерного пространства. Он сформулировал задачу следующим образом: среди непрерывных и имеющих непрерывные первые производные кривых yi = yi(x), i = 1,..., n, соединяющих две точки P1[x1, y1(x1),..., yn(x1)] и P2[x2, y1(x2),..., yn(x2)] и удовлетворяющих множеству независимых уравнений ja (x, y1,..., yn) = 0, a = 1,..., m < n, найти такую, для которой не обра-

x2

щающийся в бесконечность интеграл J f x, y1,..., yn , y1 ,...,yn d x при-

РассмотримбАрешение задачи оптимизации с использованием методов вариационного исчисления для продольного профиля, конфигурации лобовой поверхности рабочего органа и ее поперечного сечения. Методики определения конфигурации оптимальных параметров приведены на

ми многочлена Pi 1 x . Полиномы Лежандра – ортогональные многочле-

ны с весом 1 на отрезке [ 1, +1]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд произвольной функции f(x), интегрируемой на отрезке [ 1, +1].

93

Окончательное определение формы продольного профиля рабочего органа

Рис. 4.1. Методика определения конфигурации оптимального продольного профиля рабочего органа

94