3.3. Общий подход к построению математических моделей

Изучение математической модели всегда связано с некоторыми правилами действия над изучаемыми объектами. Эти правила отражают связи между причинами и следствиями.

Разработка математической модели − это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит весь последующий анализ объекта. Модель должна быть достаточно точной, адекватной и удобной для использования.

В самом общем виде математическая модель может быть

различных условиях для извлечения полезного знания об объекте (известны причины, необходимо найти следствия). К прямым задачам относятся, например, задачи расчета механических, тепловых, электромагнитных полей для тел, свойства которых и конфигурация известны. Эти задачи к настоящему времени достаточно хорошо изучены и составляют сущность одного из важнейших разделов современной математики – уравнений математической физики или уравнений в частных производных.

Обратные задачи решаются в случаях, когда известны следствия, нужно найти причины. Обратные задачи бывают задачами

распознавания, синтеза и проектирования управляющих систем.

Задача распознавания состоит в определении параметров модели путем сопоставления наблюдаемых данных и результатов

75

Построение математической модели требует интуиции и изобретательности, глубокого понимания сути поставленной задачи и математической подготовленности исследователя. Разработка модели облегчается, если используется ЭВМ. Решение задачи по разработке математической модели в общем виде можно сформулировать как последовательность интерактивных процедур: идентификации, оценивания и диагностической проверки.

Идентификация − использование теоретических и экспериментальных данных, а также любой другой априорной информации об объекте исследования для выбора класса необходимых математических зависимостей.

Оценивание представляет собой эффективное использование

имеющихся данных для получения выводов о параметрах, определяющих адекватность исходной модели, т.е. ее соответствие имеющимся экспериментальным данным.

ствование модели. В процессе этой проверкиИнеобходимо обнаружить элементы неадекватности модели исследуемому объекту и найти пути

Диагностическая проверка включает в себя согласование мо-

дели с исходными данными, выявление недостатков и усовершен-

землеройной маш ны. При свободном резании грунта его сопротивление оказывает влияние лишь на рабочую лобовую поверхность режущего органа.

За начальную примем ту стадию процесса резания, когда режущий орган заглублен в грунт на некоторую исходную величину h и начинается поступательное перемещение его в грунте (рис. 3.9).

Пусть f (y) − уравнение лобовой поверхности режущего

инструмента, поступательная скорость перемещения которого равна ϑe и направлена горизонтально. Тогда скорость перемещения грунта в

произвольном сечении I − I по величине будет равна

и направлена по нормали к рассматриваемой поверхности.

77

полупространстве начинает распространяться плоская ударная волна, за которой грунт находится в состоянии плоского движения, описываемого в проекции на ось Ох, выбранной по нормали к поверхности ножа, уравнением

только на ударной волнеб, поэтому за ней грунт принимается несжимаемым, то есть плотность частиц грунта за волной одинакова.

В этом случае скорость частиц грунта, движущихся по нормали к поверхности ножа (вдоль оси Ох), будет функцией только времени,

Пусть L(t) − величина перемещения режущего органа в грунте в

направлении, нормальном к его лобовой поверхности. Тогда можно записать

78

С учетом выражений (3.18) и (3.19) уравнение (3.17) примет

вид

Проинтегрировав это уравнение по переменной х, получим

где С − постоянная интегрирования.

Поскольку грунт в области возмущённого давления не только несжимаем, но и неоднороден, т.е. γ =γ(x), плотность

Исключив постоянную интегрирования из уравнений (3. 22) и (3.24) и воспользовавшись соотношениями (3. 23), с учетом того, что b =b(y) является функцией переменной у, получим величину

давления на элементарной площадке лобовой поверхности ножа при x = L, 0 ≤ y ≤ (см. рис. 3.9):

79

Формула (3.25) является выражением величины давления грунта на лобовую поверхность режущего органа в

рассматриваемом произвольном сечении I − I (см. рис. 3.9). Тогда если γ0 = γ0 (y) и P = P(y) – известные функции, то

горизонтальная и вертикальная составляющие сопротивления

максимального значения и происходят скол и сдвиг грунтовой массы. При отделении грунта от массива в виде сливной стружки также происходит множество микросколов, но вследствие того, что скорость деформации превосходит скорость разрушения грунта, грунт вновь уплотняется. Формула (3.25) фактически описывает изменение величины давления грунта на лобовую поверхность для произвольного фрагмента процесса резания, определяемого двумя последовательными сколами.

80

соответственно статическую, кинематическую и динамическую компоненты величины сопротивления наполнению WH .

В данной модели процесса наполнения ковша не учитываются силы бокового расширения, однако результаты анализа показывают,

что они составляют 5−7% полного сопротивления наполнению.

выполняется с помощью ЭВМ. Схема построения модели в этом случае представлена на р с. 3.11.

Порядок построения модели с использованием ЭВМ упрощается и сводится к следующим этапам:

1) определение структуры модели (вида дифференциального уравнения или системы таких уравнений) и выделение известных параметров;

2) выбор некоторой функции (критерия качества) для оценки

степени совпадения реакций модели у (τ) и реальной системы у(τ) на одно и то же возмущение х(τ);

3) поиск алгоритма или стратегии для определения параметров,

минимизирующих различие реакций модели у (τ) и реальной системы у(τ), согласно принятому критерию качества.

82