физическим моделированием − воспроизведение процесса (явления, объекта) на модели с сохранением его физической природы.

Чаще всего эти две формы моделирования используются совместно при исследовании одного и того же процесса или явления. Большое будущее принадлежит математическому моделированию, так как исследователь может проводить эксперимент не только с реально существующими объектами, но и с системами, процессами,

математические и физические модели при исследовании некоторых объектов. Это связано с непреодолимыми математическими

построению моделей (эмпирических формул), полученных на базе экспериментальных данных. Эмпирические модели подчас более точно описывают исследуемый объект, нежели теоретические модели. Но они имеют существенный недостаток – пригодны только в конкретных условиях и в заданных пределах измерения параметров

исследования.

52

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

3.1.Применение математических методов

внаучных исследованиях

Степень математизации научных дисциплин, в том числе и технических, служит объективной характеристикой глубины знаний об изучаемом предмете. Так, многие явления физики, химии, техники описываются математическими методами достаточно полно. В результате эти науки достигли высокой степени теоретических обобщений.

Моделирование рабочих процессов дорожных и строительных

использования и надежности, нуждаетcя в разработке математических

машин, ориентированное на исследование конструкций машин и оборудования, режимов работы машин, Иоснов их эффективного

в виде компьютерных, физических, имитационных.

моделей процессов как основных дляДпоследующей их интерпретации

Математическая модель обычно представляет собой систему

уравнений в частных производных, отражающую взаимовлияние

исследуемого объекта и рассматриваемого процесса, изменение

исходных данных, параметров и характеристик. Система уравнений

Математическ е методы применяют для описания принципов работы машин и оборудования, их конструктивных особенностей, динамики протекающих процессов. Описание проводят в двух основных направлениях. Для обработки исходных данных используют различные методы математической статистики, выбор одного из которых в каждом конкретном случае основывается на характере распределения анализируемых данных. Эти методы предназначены для выявления закономерностей, свойственных объектам, поиска сходства и различий между отдельными группами объектов, оценки влияния на них разнообразных внешних факторов и т.п. На основе определенной гипотезы о типе распределения изучаемых данных в серии наблюдений и использования соответствующего математического аппарата с той или иной достоверностью устанавливаются свойства объектов, делаются

53

практические выводы, даются рекомендации. Описания свойств объектов, получаемые с помощью методов математической статистики, называют иногда моделями данных. Модели данных не содержат какой-либо информации или гипотез о внутренней структуре реального объекта и опираются только на результаты инструментальных измерений [34].

Другое направление связано с моделями систем и основывается на математическом описании объектов и явлений, содержательно использующих сведения о структуре изучаемых систем, механизмах взаимодействия их отдельных элементов. Разработка и практическое использование математических моделей систем (математическое моделирование) составляют перспективное направление применения

Статистические методы обработки стали привычным и широко распространенным аппаратом. Однако использование этой группы математических методов вызвало ряд проблем принципиального характера, связанных с выборомАадекватного задаче метода статистической обработки и содержательно обоснованного его применения. Эти факторыбпослужили причиной роста требований к качеству статистической о ра отки экспериментальных данных, в т. ч. для публикации ирезультатов исследований в научных журналах. Ранее считалась достаточной о работка данных простейшими статистическимиСметодами простыми формами корреляционного и регрессионного анал за. Это, как показал опыт, далеко не всегда позволяет выявить сущность исследуемых явлений и, более того, не дает гарантий в отношении надежности результатов.

Существует несколько основных понятий, необходимых для эффективного использования методов современной многомерной статистики.

Статистическая совокупность − понятие, лежащее в основе всех статистических методов. Обычно изучаемые объекты обладают большой вариабельностью, их характеристики меняются во времени и пространстве в зависимости от многих факторов, а также существенно отличаются друг от друга. Характеристики таких объектов обычно представляют в виде матрицы наблюдений, где столбцы соответствуют различным признакам, а строки – либо

54

относиться к генеральной совокупности. Интервальная оценка генерального среднего (математического ожидания) производится на основе распределения Стьюдента (при числе наблюдений не более 50 − 60) или на основе гипотезы о нормальном распределении (при большем числе наблюдений). Для оценки генеральной дисперсии применяется распределение χ2. Интервал, в котором с заданной вероятностью находится генеральный параметр, называется доверительным интервалом, сама такая вероятность – доверительной вероятностью. Чем точнее требуется результат, тем большим порогом задается исследователь и тем шире (при прочих равных условиях) получается доверительный интервал. В статистике наряду с понятием доверительной вероятности употребляется термин «уровень

определения принадлежности двух имеющихся выборок к одной и той же генеральной совокупности.

Гипотеза о том, что обе выборки не различаются, т.е. принадлежат к одной генеральнойАсовокупности, называется иногда нуль-гипотезой. Эта гипотеза принимается, если ее значимость, получаемая на основаниибстатистических критериев, превышает допустимый порог (р > 0,95). Однако при р < 0,95 отвергнуть эту гипотезу нельзя: ответиостается неопределенным, и для получения окончательного вывода тре уются дополнительные данные. Гипотеза отвергается вСтом случае, если ее значимость (вероятность правильности) станов тся меньше заданного стандартного порога.

При проверке статистических гипотез используются параметрические и непараметрические критерии. В первом случае производится сравнение параметров двух выборочных распределений (средних и дисперсий) и делается заключение о равенстве или различии этих параметров в генеральных совокупностях. Гипотеза о равенстве средних значений проверяется по критерию Стьюдента, равенство дисперсий − по критерию Фишера.

В последние годы большую популярность приобрели непараметрические критерии (Уилкоксона, Колмогорова − Смирнова и др.). Их достоинством является то, что они не содержат ограничений, вытекающих из гипотез о типе распределения случайных величин, а опираются на единый принцип – непрерывности распределений.

56

Эти критерии применимы и для анализа порядковых данных. Однако по сравнению с параметрическими методами они менее чувствительны к различиям в выборках. Чаще всего непараметрические критерии используются для сравнения эмпирического распределения с теоретическим, в частности при проверке имеющейся статистической совокупности на принадлежность к типу нормальных распределений.

Дисперсионный анализ – статистический метод, применяемый для выявления влияния отдельных факторов (количественных, порядковых или качественных) на изучаемый признак и оценку степени этого влияния. Если изучается действие количественного фактора, то предварительно производится его разбивка на градации.

Для каждой градации подсчитывается среднее значение изучаемого признака, затем дисперсия среднего Ипо градациям фактора относительно общего среднего и, наконец, общая дисперсия изучаемого показателя (независимо от значения фактора).

В теории дисперсионного анализа показано, что общая дисперсия D равна дисперсии средних по градациям фактора DF (доля дисперсии за счет действия исследуемого фактора – объясненная

где L – число градаций фактора; N – объем статистической совокупности.

Показатель влияния F затем сравнивается со стандартным значением Fst в таблице Фишера (для выбранного уровня значимости при соответствующем числе степеней свободы). Если F > Fst, то факт влияния считается достоверно доказанным.

Описанная схема называется однофакторным дисперсионным анализом.

Анализ зависимости между признаками. Для оценки степени взаимозависимости двух количественных признаков чаще всего используют коэффициент ковариации или его нормированное

57

значение − коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции Пирсона определяется из зависимости

увеличивается. При наличии детерминированной (функциональной) связи величина R равна +1 или –1 (если увеличение одного признака

значений другого с тем меньшей дисперсиейДИ, чем больше абсолютная величина R. В простейшем виде коэффициент корреляции отражает линейную связь между признаками, когда изменения обоих признаков пропорциональны во всем диапазоне.

сопровождается соответственно увеличением или уменьшением

другого). При промежуточных значениях R каждому фиксированному

значению одного признака отвечает некоторое распределение

может быть равен нулю. В Атаких случаях для выявления связи применяют другой показатель – корреляционное отношение, которое

При наличии нелинейной связи, например при квадратичной зависимости одного признака от другого, коэффициент корреляции

где DF – дисперсия второго признака за счет влияния первого; D – общая дисперсия второго признака. Величина корреляционного отношения, как и коэффициента корреляции, лежит между нулем и единицей.

Если исследуется группа тесно связанных между собой признаков, то корреляция между двумя из них может сильно изменяться под влиянием третьего. Частный коэффициент

58

где Rxy (z) – частный коэффициент корреляции между признаками Х и Y при нейтрализации влияния признака Z; Rxy, Rxz, Ryz – парные коэффициенты корреляции.

В случае необходимости анализа влияния нескольких признаков на один (множественная корреляция) применяется более громоздкая, требующая больших объемов вычислений процедура.

корреляции – каждому уровню признака присваивается свой ранг, для каждого наблюдения вычисляется разница рангов.

Если исследованию подлежит связь между порядковыми признаками, то применяют так называемыйИранговый коэффициент

интервал значений (если он непрерывенД). При большом числе выборочных данных, значения которых варьируют незначительно, закон распределения может ыть аппроксимирован гистограммой.

Закон распределения случайной величины – это функция,

Для построения гистограммы интервал значений признака

определяющая вероятность того, что какой-либо признак примет заданное значение (если он дискретенА) или попадает в заданный

плотности (или плотности вероятности) случайной величины.

Законы распределения могут быть одномерными и многомерными. В последнем случае закон описывает вероятность появления сочетанных значений признаков или попадания их в некоторую область пространства признаков. В прикладной статистике особую роль играют несколько наиболее часто используемых законов распределения.

Наиболее разработана гипотеза о нормальном распределении

где a − математическое ожидание; σ – среднеквадратическое (стандартное) отклонение.

Кривая распределения изображена на рис. 3.1. Она симметрична относительно точки x = a (точка максимума). При уменьшении σ координата точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единице (рис. 3.2).

Параметры закона Гаусса a и σ приближенно оцениваются по любой выборке из генеральной совокупности.

Величина σ, возведенная в квадрат, называется дисперсией:

величины около среднего значения. При нормальном распределении случайной величины ее наблюдаемые значения с большой

Рис. 3.1. Кривая нормального закона распределения (закона Гаусса)

60

уменьшении значенияДσ

Оценка математического ожидания а по выборке (называемая выборочным средн м) тоже является случайной величиной. Она описывается так называемым распределением Стьюдента. Это

где Г – гамма-функция Эйлера; n – число степеней свободы.

Кривые распределения Стьюдента (для различных значений n) изображены на рис. 3.3.

61

Пирсона χ2. Если случайная величина x подчиняется закону χ2(n), то её плотность распределен я вероятностей есть

изображены на рис. 3.4.

62

Кривые распределения Пирсона [для различных значений F (критерия Фишера)] показаны на рис. 3.5.

63

Рис. 3.5. Кривые плотности распределения Фишера (для различных значений F)

случайным величинам. Для дискретных случайных величин

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.

Математическое моделирование или аналитическое моделирование, математические методы или аналитические методы в исследованиях − это примерно одно и то же, не считая некоторых процедурно-математических особенностей. Математическое моделирование в приборостроении, метрологии, экологии и других областях научных исследований используется широко.

Требования, предъявляемые к математическим моделям:

1.Универсальность − характеризует полноту отображения моделью изучаемых свойств реального объекта.

2.Адекватность − способность отражать нужные свойства объекта с погрешностью не выше заданной.

3.Точность − оценивается степеньюИсовпадения значений характеристик реального объекта и значения этих характеристик, полученных с помощью моделей. Д

4.Экономичность − определяется затратами ресурсов памяти

ЭВМ (при ее использовании) и времени на ее реализацию и эксплуатацию. А

Отношение между моделью и объектом исследования при математическом моделированииб основано на тождестве математических форм различным законам природы.

Решение практическихизадач математическими методами последовательно осуществляется путем математической формулировки задачи, разработкиСматематической модели, выбора метода проведения исследован я полученной модели, анализа полученного математического результата. При этом используются любые математические формы, наиболее удовлетворяющие описанию исследуемого объекта (явления, процесса). Такими формами могут быть дифференциальные и интегральные уравнения, матрицы, выражения теории вероятности, выражения физических законов и др.

Математическая формулировка задачи обычно представля-

ется в виде чисел, геометрических образов (изображений), функций, систем уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и др.). Описание объекта (явления, процесса, ситуации) может быть представлено с помощью дискретной, непрерывной, детерминированной, стохастической или другой математической формы.

70

Математическая модель представляет собой систему математических соотношений: формул, функций, уравнений, систем уравнений, описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса. На этапе выбора математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются линейность или нелинейность, динамичность или статичность, степень детерминированности исследуемого объекта, процесса, а также стационарность или нестационарность, дискретность и непрерывность.

Линейность устанавливается по характеру статической характеристики исследуемого процесса, например у = f(x) или у = f(τ). Если между входным сигналом х (параметр) или τ (время) и выходной характеристикой у (под у понимается изменение выходного сигнала, например, во времени) имеется линейная зависимость, как показано на рис. 3.7, а, то математическая модель линейная и представляет собой уравнение прямой

Нелинейность статической характеристики в более сложном виде, как показано на рис. 3.7, в, может быть описана полиномом

или более сложными выражениями.

71

τ

а

установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными, описывающими объект или явления.

Такой подход основан на знании механизма функционирования объектов. Часто моделируемый объект сложен и расшифровка его механизма может оказаться очень трудоемкой и длинной во времени. В этом случае поступают следующим образом: на оригинале проводят эксперименты, обрабатывают полученные результаты и, не вникая в механизм и теорию моделируемого объекта с помощью методов математической статистики и теории вероятности, устанавливают связи между переменными, описывающими объект. В этом случае

72