сходных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия изучаемого явления. Определяющие критерии составляются из независимых между собой величин, которые входят в условия однозначности (геометрические соотношения, физические параметры, краевые условия, начальные и граничные).

Теория подобия дает общие методические указания, как поступить в каждом отдельном случае при анализе уравнений, описывающих явление, при постановке и обработке данных опыта над ними и при распределении результатов опыта на другие явления. Она показывает, что любая функциональная зависимость между физическими параметрами исследуемого объекта может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия,

процессов.

составленными из физических параметров. При этом критерии подобия представляют собой безразмерныеИпараметры, которые характеризуют физическое подобие происходящих в исследуемом объекте процессов, и являются константамиД для всех подобных

Достоинства теории подобия и введения критериев подобия в

следующем:

1) обеспечивается возможность комплексного физического

является важным достобнством, т.к. величины критериев в безразмерном виде не зав сят от принятой системы единиц.

анализа и математического описания явления вместо множества

5.4. Методы получение критериев подобия

Наибольшее распространение получили следующие методы получения критериев подобия: 1) метод приведения дифференциальных уравнений к критериальному виду; 2) метод анализа размерностей физических величин (метод Релея – Павлушенко).

Метод приведения дифференциальных уравнений – это получение критериев подобия путем преобразований дифференциальных уравнений.

118

5) все операторы в уравнении делятся на один из них.

Метод анализа размерностей физических величин (метод Релея

– Павлушенко) дает возможность получить критерии и критериальные уравнения для сложных процессов, для которых не удается составить

дифференциальные уравнения и сформулировать условия

Для использования данного методаИнеобходимо знать, какие физические величины оказывают существенное влияние на течение процесса. Уравнение, выражающее искомую связь между

однозначности. Метод (анализ) размерностей устанавливает связь между физическими величинами, существенными для изучаемого явления, и основан на рассмотрении размерностей этих величин [7].

физическими величинами, должно Доставаться справедливым при любом изменении единиц входящих в него величин. Это требование

При решенииСфизических задач для практического применения метода размерностей рекомендуется следующая последовательность операций:

1.Проанализировать задачу исследования эксперимента и вы-

делить фундаментальные (определяющие, основные) переменные,

которые характеризуют объект, явление или процесс, определяющие их ход или состояние. При этом исключаются второстепенные, не имеющих значения для целей данного исследования, факторы (параметры).

2.Установить функциональное соотношение между исследуемой величиной и фундаментальными переменными

119

где А – исследуемая физическая величина; a, b, c – фундаментальные переменные.

3. Записать данные соотношения в виде следующего алгебраического уравнения:

где х, у, z ... – показатели степени фундаментальных величин; k – безразмерная постоянная, которая не может быть определена методом размерностей. В когерентной (согласованной) системе единиц

где dim – размерность физических величин (символ краткой записи размерности от англ. dimension).

Уравнение (5.4) позволяет определить численные значения показателей степеней х, у, z,..., которые с точностью до постоянного коэффициента k устанавливают связь между рассматриваемой физической величиной и фундаментальными величинами.

5. Из выражения (5.4) составить систему алгебраических уравнений по каждому показателю степени. Число уравнений в системе столько, сколько неизвестных показателей степени. Решение системы уравнений дает значение показателей степени х, у, z,... .

При использовании метода подобия в физическом моделировании формула размерности рассматривается при этом как условие связи между масштабами параметров в двух подобных явлениях.

120

Например, обозначив индексом Н параметр натуры ПН, индексом М – параметр модели ПМ, масштаб (критерий) подобия можно записать

как k = ПМ .

ПН

Отмечая важность использования теории размерностей при постановке и анализе научного эксперимента, не следует преувеличивать ее универсальность и область применения. Некоторые задачи, особенно имеющие скрытую природу нефизического характера или многофакторные задачи, теоретически не описываются приемами теории размерностей. Поэтому применение теории размерностей должно иметь свою меру и не должно быть самоцелью исследования. В противном случае этот эффективный метод может

ном исследовании представляют экспериментальные результаты в виде физических параметров и зависимостей их влияния на

эксперимента, уменьшении его объема и компактности представления результатов исследованияб.

исследуемый объект. Все остальное, в том числе размерности и подобия, играет вспомогательнуюА роль в планировании

При всем этом метод теории размерности в ряде случаев является наиболее доступнымидля построения физической модели по

сравнению с друг ми теоретическими методами, содержащими непреодолимыеСматемат ческ е трудности, или экспериментальными методами, требующ ми сложных, объемных и дорогих экспериментов. В этом случае составленная физическая модель исследуемого явления может дать приемлемое решение задачи с заданной точностью в обход невозможности, например проведения натурного эксперимента. В этом случае метод размерности работает четко и достоверно.

Последовательность анализа задач физического моделирования

спозиций теории размерностей и подобия:

1)анализ и постановка задачи;

2)выделение фундаментальных параметров, определяющих исследуемое явление;

3)составление общей функциональной зависимости, связывающей производную величину с определяющими величинами (параметрами);

121